Correction of ionospheric correction deviation in network RTK based on conditional adjustment
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摘要: 本文针对午后太阳辐射较大时段网络实时动态定位(real-time kinematic，RTK)电离层延迟建模精度不高的问题，提出了一种基于条件平差的电离层改正数偏差修正方法. 利用闭合三角形单元中三条基线双差电离层延迟理论闭合差为0这一条件，对建模得到的电离层改正数进行平差处理，修正其偏差，并对修正过程中的权阵确定方案进行了相关讨论. 实验表明：当电离层改正数模型值精度不高时，修正算法可以有效提高电离层改正数的精度，同时基于已知基线的模糊度固定情况来确定权阵能达到较好的修正效果，电离层改正数偏差最大值减小58.0%，精度总体提高51.1%.Abstract: Aiming at the problem of low accuracy of ionospheric delay modelling in the afternoon in network RTK, a deviation correction method for ionospheric correction values based on conditional adjustment is proposed, using the condition that the theoretical closure difference of the three baselines in the triangle with double-difference ionospheric delays is 0, to adjust the ionospheric correction values obtained by modelling, and the scheme of determining the weighting array in the correction process is discussed. The experiments show that the correction algorithm can effectively improve the accuracy of ionospheric correction when the accuracy of the ionospheric correction model is not high, and at the same time, the determination of the weight array based on the ambiguity fixing of the known baselines can achieve a better correction effect, with the maximum value of the deviation of the ionospheric correction value reduced by 58.0 percent and the overall accuracy improved by 51.1 percent.
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Keywords:
- network RTK /
- ionospheric correction /
- bias correction /
- conditional adjustment /
- VRS /
- GNSS
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0. 引 言
随着北斗三号全球卫星导航系统(BeiDou-3 Navigation Satellite System，BDS-3)的开通，标志着北斗“三步走”战略全面完成，北斗卫星导航系统(BeiDou Navigation Satellite System，BDS)正式开启全球服务新时代，以BDS为主的高精度定位导航服务体系、应用体系已成为当前GNSS应用的重点研究方向. 北斗地基增强系统是GNSS高精度应用的关键系统，可提供实时厘米级、亚米级的高精度位置服务，在地质灾害监测、自然资源调查、国土空间规划等方面广泛应用，同时，共享出行、智慧城市、智慧交通等新兴行业对高精度位置服务的需求也越来越强烈.
基于北斗地基增强系统的网络实时动态定位(real-time kinematic，RTK)服务中，终端定位精度受电离层、对流层等大气误差的影响较大，特别在午后时段，电离层的误差改正精度相对较低，导致终端定位精度较差. 电离层中存在着大量不均匀的结构体，这些结构体在几千米至几百千米的范围内变化不均匀[1]，对于基线长度处于100~200 km的大尺度参考站网来说，电离层延迟、对流层延迟等误差的空间相关性较小，整周模糊度与残余误差的分离和高精度区域误差改正模型的建立比较困难[2]. 特别是当电离层活动频繁时，高阶电离层延迟的残差会对流动站电离层改正数的构建产生不利影响，使电离层建模精度不高[3-8]，最终对定位精度造成一定影响. 针对这一情况，文献[9]提出了一种电离层预报模型来解决因电离层扰动而造成流动站电离层改正数精度不高的问题，其具体做法是将初始化完成的流动站接收机计算得到的电离层延迟信息作为下一个历元电离层延迟的预报值，不再利用电离层的相关性来求电离层改正数. 文献[10]通过功率谱密度分析非组合定位模型中电离层参数的随机游走过程，对电离层时变特性约束下长距离RTK算法进行了研究. 文献[11]分析了不同电离层改正模型对定位精度的影响. 文献[12]研究了电离层的变化规律并建立回归模型，提出了一种自模型化电离层延迟变化的单频载波相位平滑伪距算法. 文献[13]基于中国香港卫星定位参考站网数据，分析了电离层闪烁对定位的影响. 文献[14]分析了国内外多个分析中心的预报、快速和最终全球电离层格网产品在中国的应用精度情况.
目前，大部分研究集中在电离层模型的优化、网络RTK电离层改正数模型上，但鲜有文献分析研究电离层改正数偏差的修正算法，无法解决电离层改正数建模精度偏低导致定位性能不高的问题. 本文针对网络RTK服务中，午后电离层改正数精度较低的问题，提出一种基于条件平差的电离层改正数偏差修正方法，可有效提高电离层改正数精度.
1. 基于条件平差的电离层改正数修正算法
在我国，北京时间13:00—18:00（对应UT时间5:00—10:00）是一天中太阳辐射最强烈的时段，如图1所示，该时段的电离层会因为强太阳辐射而出现一定的空间失相关性，具体表现为午后的电离层改正数精度有所下降，图2、图3是某参考站网中凌晨与午后两个时段上电离层改正数精度，可以看出，午后电离层改正数精度明显低于凌晨时段电离层改正数精度.
针对午后电离层改正数精度较低的问题，提出一种基于条件平差的电离层改正数修正算法. 为了快速地解算模糊度，参考站网一般采用三角形单元的网络构型，即参考站网由若干个三角形组成，当三角形单元的三条基线模糊度解算完毕后，可求得三条基线上的双差电离层延迟，然后可利用三角形单元的闭合关系对求得的双差电离层延迟信息进行检验. 而对于流动站来说，可以利用三角形单元来提高电离层改正数的精度，利用三角形单元中三条基线的电离层改正数理论闭合差为0这一条件，对流动站与参考站间基线上的电离层改正数进行平差修正. 平差的目的是为了最优估计函数模型的未知量[15]，使观测量接近真实值，可将流动站电离层改正数视作一个观测量，且在三角形单元中满足一定的条件，这样便可利用条件平差的方法对其进行修正，从而提高电离层改正数的精度.
如图4所示，流动站R位于参考站A、B、C组成的三角形单元中，AB、AC、BC为已知基线，而基线AR、BR、CR则为待求基线，先用已知基线(包括三角形单元以外的已知基线)的电离层延迟信息求得AR、BR、CR上双差电离层延迟的模型值，再用条件平差来对模型值进行修正.
条件平差的方程数量由多余观测值决定，在图4的三角形单元中，AR、BR、CR三条基线上双差电离层延迟的模型值可视为三个观测值，而根据闭合差为0的条件知道，必要观测值为1(已知基线双差电离层延迟视为真值)，所以多余观测值为2，即可列出两个条件方程，选择图4中标注为“1”和“2”的两个三角形来创建条件方程：
$$ \begin{cases} \Delta \nabla {{\hat I}_{AR}} - \Delta \nabla {{\hat I}_{BR}} - \Delta \nabla {I_{AB}} = 0 \\ \Delta \nabla {{\hat I}_{AR}} - \Delta \nabla {{\hat I}_{CR}} - \Delta \nabla {I_{AC}} = 0 \end{cases} $$ (1) 式中，两个方程都是基于闭合三角形三条基线的双差电离层延迟闭合差为0的条件列出的，其中
$ \Delta \nabla \hat I $ 为不含误差的双差电离层延迟，$ \Delta \nabla I $ 为已知基线的双差电离层延迟. 将$\Delta \nabla \hat I = \Delta \nabla I( {\text{model}}) + v$ 代入式(1)中，可得：$$ \begin{cases} {v_{AR}} - {v_{BR}} + \Delta \nabla {I_{AR}}({\text{model}}) - \Delta \nabla {I_{BR}}({\text{model}}) - \Delta \nabla {I_{AB}} = 0 \\ {v_{AR}} - {v_{CR}} + \Delta \nabla {I_{AR}}({\text{model}}) - \Delta \nabla {I_{CR}}({\text{model}}) - \Delta \nabla {I_{AC}} = 0 \end{cases} $$ (2) 式中：
$\Delta \nabla I({\text{model}})$ 为电离层改正数模型求得的模型值；$v$ 为在模型值基础上的修正值. 式(2)可写为$$ {\boldsymbol{MV}} + {\boldsymbol{W}} = 0 $$ (3) 式中：
${\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0 \\ 1&0&{ - 1} \end{array}} \right]$ ；${\boldsymbol{V}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{AR}}} \\ {{v_{BR}}} \\ {{v_{CR}}} \end{array}} \right]$ ；${\boldsymbol{W}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \nabla {I_{AR}}({\text{model}}) - \Delta \nabla {I_{BR}}({\text{model}}) - \Delta \nabla {I_{AB}}} \\ {\Delta \nabla {I_{AR}}({\text{model}}) - \Delta \nabla {I_{CR}}({\text{model}}) - \Delta \nabla {I_{AC}}} \end{array}} \right]$ ；${\boldsymbol{W}} $ 为模型值的闭合差矩阵. 令${\boldsymbol{K}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_1}}&{{k_2}} \end{array}} \right]^{\text{T}}}$ ，其为拉格朗日乘数法求条件极值时的联系数向量，根据最小二乘原理可得修正值${\boldsymbol{V}}$ 的计算公式为：$$ {\boldsymbol{V}} = {{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{M}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{K}} = {\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{M}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{K}} $$ (4) 式中：
${\boldsymbol{P}}$ 为AR、BR、CR三条基线上双差电离层延迟模型值的权阵；$ {\boldsymbol{Q}} $ 为协因数阵. 将式(4)代入式(3)中可求出联系数向量${\boldsymbol{K}}$ ：$$ {\boldsymbol{K}} = - {({\boldsymbol{MQ}}{{\boldsymbol{M}}^{\text{T}}})^{ - 1}}{\boldsymbol{W}} $$ (5) 解出
${\boldsymbol{K}}$ 后，将其代入式(4)中即可求得修正值${\boldsymbol{V}}$ ，再按式$\Delta \nabla \hat I = \Delta \nabla I( {\text{model}}) + v$ 对模型值$\Delta \nabla I({\text{model}})$ 进行修正. 总之，上述过程可分为四个步骤：1)列出条件方程；2)根据条件方程的系数阵$ {\boldsymbol{M}} $ 、闭合差阵${\boldsymbol{W}}$ 及双差电离层模型值的协因数阵$ {\boldsymbol{Q}} $ 求联系数向量${\boldsymbol{K}}$ ；3)将${\boldsymbol{K}}$ 代入式(4)中求得修正值${\boldsymbol{V}}$ ；4)根据$\Delta \nabla \hat I = \Delta \nabla I({\text{model}}) + v$ 对模型值$\Delta \nabla I({\text{model}})$ 进行修正.2. 实验分析
利用如图5所示的七个参考站构建实验参考站网(实验数据来自美国NGS，参考站位于美国南部德克萨斯州，数据采样间隔5 s)，TXHO为流动站，TXLL、TXCS、TXTI三个站构成三角形单元，三角形单元内TXLL-TXHO、TXCS-TXHO、TXTI-TXHO三条基线为待求基线，TXUV、TXAN、TXCT三个站作为已知参考站辅助求解待求基线上的双差电离层延迟模型值，实验中采用LIM模型估计待求基线上的双差电离层延迟，将其结果当做模型结果. 将基线解算(固定解)求得的双差电离层延迟作为标准值，以准确衡量模型值的精度与修正算法的效果. 实验数据时段为13:00—16:00，是一天中太阳辐射最强的时段.
首先根据模型求得三条待求基线上双差电离层延迟的模型值，并计算模型结果如图5所示. 三角形1、三角形2中闭合差的不符值，其结果如图6所示.
由图6可知，模型求得的双差电离层延迟在三角形1、三角形2中的闭合差不符值波动均较大，最大值分别达到了–0.121 m和–0.104 m. 下面利用条件平差的方法对待求基线上双差电离层延迟的模型结果进行修正，待求基线TXLL-TXHO上修正前后的精度对比情况(绝对值)如图7所示(权阵
${\boldsymbol{P}}$ 取单位阵).由图7可知，经修正后，TXLL-TXHO上电离层改正数精度有所提高. 为更详细地了解修正前后的精度情况，将三条待求基线上每个历元双差电离层延迟修正前后的精度进行统计，统计结果如图8所示.
各精度指标的具体数值如表1所示.
表 1 电离层改正数修正前后精度统计m 统计指标 TXLL-TXHO TXCS-TXHO TXTI-TXHO 修正前 修正后 修正前 修正后 修正前 修正后 最大值 0.098 0.060 0.063 0.057 0.062 0.056 平均值 0.028 0.017 0.016 0.015 0.016 0.016 中误差 0.034 0.021 0.020 0.020 0.021 0.020 1) 由图7可知，LIM模型在午后的精度波动频繁，在第100~500个历元，待求基线上双差电离层延迟的模型结果精度变化较大，短时间内波动值接近6 cm，而其他时段也出现了不同幅度的波动，说明午后的电离层建模精度不是很稳定.
2) 经统计，整个过程中LIM模型在TXLL-TXHO、TXCS-TXHO、TXTI-TXHO三条基线上估计的双差电离层改正数精度分别为0.034 m、0.020 m、0.021 m，经过修正算法修正后，三条基线上的双差电离层改正数变为0.021 m、0.020 m、0.020 m. 可以看出，基线TXLL-TXHO上的双差电离层改正数精度有一定提高，TXCS-TXHO、TXTI-TXHO两条基线的双差电离层改正数精度无明显变化. 说明当电离层改正数模型值本身的精度较高时，修正算法对提高双差电离层改正数的精度并无明显帮助；当模型值结果精度不高时，修正算法才能一定程度上提高电离层改正数的精度.
总体来说，修正算法在提高午后电离层改正数精度方面是有效的.
上述实验结果是将各待求基线上双差电离层延迟的模型值看作等精度观测量求得的，即权阵
${\boldsymbol{P}}$ 取单位阵，但电离层改正数的精度受多种因素的影响，可分为两大类：第一类基于空间相关性，第二类是已知基线模糊度的固定情况. 第一类的具体表现为参考站与流动站距离越近，或流动站与主参考站的距离越近，电离层改正数模型求得的流动站电离层改正数精度越高；第二类表现为已知基线模糊度固定时求得的流动站电离层改正数较模糊度比未固定时的精度高. 所以，为使最终的流动站电离层改正数精度更高、更可靠，在对模型求得的电离层改正数进行修正时，应适当地调整权阵${\boldsymbol{P}}$ . 下面通过实验继续讨论权阵${\boldsymbol{P}}$ 的最优确定策略，根据前文分析，选定表2中所述的三种策略进行探讨.表 2 权阵${\boldsymbol{P}}$ 的确定方案方案 描述 方案一 以流动站与主参考站的距离定权 方案二 以电离层改正数模型用到的已知基线长度的平均值定权 方案三 以已知基线模糊度解算时的ratio平均值定权 方案一和方案二都是基于误差的空间相关性设计的，方案三则是根据模糊度的固定情况设计的. 仍选上面的几个参考站搭建实验网络，流动站仍为TXHO，以TXLL、TXUV、TXCT三个站组成三角形单元，如图9所示. 以待求基线TXCT-TXHO为例，估计该基线上的双差电离层延迟时，用到的已知基线为TXCT-TXLL、TXCT-TXAN，则按照方案一的定权方式，基线TXCT-TXHO上双差电离层延迟模型值的权可定为基线TXCT-TXHO长度的倒数；按照方案二，该基线上电离层模型值的权可定为TXCT-TXLL、TXCT-TXAN两条已知基线长度平均值的倒数；按照方案三，权为TXCT-TXLL、TXCT-TXAN两条基线模糊度解算时的ratio平均值. 由此可知，方案三的权不是固定的，每个历元根据各自已知基线的模糊度解算情况变化而变化，均可能有不同的权.
用LIM模型求得各待求基线上双差电离层延迟的模型值后，计算图9中三角形1、三角形2的闭合差不符值，结果如图10所示.
为比较三种定权方案的效果，对待求基线TXCT-TXHO进行分析，实验结果如图11、图12和表3所示.
表 3 三种定权方案精度统计m 统计指标 LIM模型 方案一 方案二 方案三 最大值 0.169 0.076 0.082 0.071 平均值 0.036 0.022 0.023 0.019 中误差 0.047 0.027 0.029 0.023 分析上述实验结果可得：
1) 三种定权方案均能较好地修正模型求得的双差电离层改正数的偏差，表3中，LIM模型的结果精度为0.047 m，经三种方案修正后，双差电离层改正数的精度均在3 cm内，精度提高了约2 cm，进一步说明基于条件平差的电离层改正数修正算法的有效性；
2) 图11中，第1 900~2 100个历元，LIM模型求得的双差电离层延迟发生较大偏差，经三种方案修正后，双差电离层改正数的偏差均有所下降，其中方案三的修正效果最为明显，说明基于已知基线的模糊度解算情况来定权能更有针对性地修正双差电离层改正数的偏差；
3) 表3中，虽然三种定权方案修正后的双差电离层改正数精度相差不大，但综合三种统计指标来看，方案三的修正效果比方案一、方案二都好，说明方案三的定权方法更为合理，电离层改正数偏差最大值减小58.0%，精度总体提高51.1%.
实验结果说明已知基线的模糊度解算对流动站电离层延迟的建模影响较大. 从理论上说，当参考站网模糊度固定之后，可得到精度较高的电离层延迟信息[16-17]，在此基础上对流动站电离层建模则可得到精度较高的电离层改正数. 所以，在对电离层改正数偏差进行修正时，以已知基线的模糊度解算情况来确定修正算法中的权阵是较为合理的选择，既考虑了已知基线电离层延迟信息的可靠性，又能对电离层改正数偏差进行一定修正.
3. 结束语
通过实验发现，本文提出的基于条件平差的电离层改正数修正方法能有效提高网络RTK电离层改正数的精度，且修正过程中的权阵宜由已知基线的模糊度解算情况确定，以使修正效果达到最佳. 实验中，仅对午后常规电离层环境下的电离层改正数偏差修正进行了研究分析. 当电离层活跃、出现扰动等情况时，修正算法是否仍能修正模型求得的电离层改正数偏差还有待后续实验继续验证.
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表 1 电离层改正数修正前后精度统计
m 统计指标 TXLL-TXHO TXCS-TXHO TXTI-TXHO 修正前 修正后 修正前 修正后 修正前 修正后 最大值 0.098 0.060 0.063 0.057 0.062 0.056 平均值 0.028 0.017 0.016 0.015 0.016 0.016 中误差 0.034 0.021 0.020 0.020 0.021 0.020 
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表 2 权阵
${\boldsymbol{P}}$ 的确定方案方案 描述 方案一 以流动站与主参考站的距离定权 方案二 以电离层改正数模型用到的已知基线长度的平均值定权 方案三 以已知基线模糊度解算时的ratio平均值定权
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表 3 三种定权方案精度统计
m 统计指标 LIM模型 方案一 方案二 方案三 最大值 0.169 0.076 0.082 0.071 平均值 0.036 0.022 0.023 0.019 中误差 0.047 0.027 0.029 0.023
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