Theory, method and application of positioning and navigation of geomagnetic field
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摘要: 地磁定位导航作为多源融合导航定位技术体系中重要的技术手段之一，具有适用范围广、抗电磁干扰能力强、可全天时、全天候工作等优点，为运动载体特别在地下、水下等卫星信号接收受限的场景提供了一条无源被动的自主定位导航技术途径. 本文对地磁定位在不同的场景和平台下的应用、实现过程进行了详细描述，分析了影响地磁定位应用的关键技术并给出了技术途径，对地磁定位技术的应用效能进行了评估和验证.Abstract: Geomagnetic positioning and navigation, as one of the important technical means in the multi-source fusion navigation and positioning technology system, has the advantages of wide application range, strong anti-electromagnetic interference ability, and all-weather work, etc., which provides a passive and autonomous positioning and navigation technology for the moving carrier, especially in the underground, underwater and other scenes where the satellite signal reception is limited. In this paper, the realization process of geomagnetic positioning in different application scenarios and application platforms is described in detail, and the key technologies affecting the application of geomagnetic positioning are analyzed and the technical approaches are given, so as to deeply explore and verify the practical application of geomagnetic positioning technology.
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0. 引 言
地磁场是一种基本地球物理场[1]，由地球内部磁场和外部磁场组成. 其中，内部磁场主要由地核形成的主磁场和岩石圈层形成的地壳异常场组成，占地磁场的99%以上. 外部磁场主要由太阳活动作用于大气电离层和磁层所产生的磁场叠加而成[2].
地磁场具有如下特点，在地球近地空间连续分布，受地球磁性物质分布不同，各个地域的地磁场存在差异，近地面磁场强度大，随高度增加逐步衰减；起源于地核的主磁场变化周期以百年计，起源于地壳的异常场变化以地质年代记. 因此，主磁场和异常场特征稳定；地球变化磁场主要来源于地球外部，存在随时间变化的特性，在数百公里地理范围内变化趋势一致. 地磁场已广泛应用于舰船和飞机的方位导航，利用指南针、磁罗盘等测量地磁场方位信息，以获得稳定的地球北指向[3].
地磁定位导航技术与方位测量技术不同，利用异常场强度随地理空间位置变化具有不同分布的特性，实现对运动载体的定位. 通过安装在运动载体上的磁场传感器(磁力仪)，实时测量运动航迹(轨迹)上的地磁场数据，并提取异常场特征，与事先获得并存储的地磁场模型或地磁异常图进行匹配，以确定运动载体的实时位置[4-9]，以用于导航或者定位跟踪.
地磁定位导航作为多源融合定位导航技术体系中重要的技术手段之一，具有适用范围广、抗电磁干扰能力强、可全天时全天候工作等优点，为运动载体特别在地下、水下等卫星信号接收受限的场景提供了一条无源被动的自主定位导航技术途径[10-13].
但是，要实现稳定高精度的地磁定位性能，并不是一件容易的事情，需要重点考虑四个方面的因素：第一，地磁导航参考图的制作和异常场特征的应用；第二，选择适合的磁力仪；第三，与磁力仪和运动载体相适配的实时测量方法；第四，与应用场景和运动载体相适配的定位算法.
本文介绍了地磁定位导航的技术发展历程，阐述了地磁定位在不同场景中应用的关键技术和能力，给出了不同应用场景下地磁定位的具体实现过程[14]，分析了地磁定位应用过程中存在的问题，为地磁定位在不同场景和不同载体上的应用提供一定参考.
1. 地磁定位导航技术发展历程
人类使用地磁信息进行导航具有悠久的历史. 远有我国古代发明的指南针、航海罗盘等，近有14、15世纪欧洲人使用罗盘进行远洋航行，发现新大陆等壮举，这都与地磁导航分不开. 20世纪90年代，随着全球卫星导航技术的发展，地磁定位导航技术的应用需求牵引不强，技术发展较为缓慢. 进入21世纪以来，随着对导航技术体系完备性建设的需求牵引，国内外开始重新重视地磁定位导航等物理场定位导航技术的研究，且随着磁场测量仪器的发展和对地磁场研究的深入，人们掌握了对地磁场的精确描述和准确测量技术，正在寻求基于地磁场特征变化的导航新方法，以期实现新的应用场景.
2. 地磁定位导航常用磁力仪传感器
表 1 主流磁力仪传感器性能指标 磁通门磁力仪 光泵磁力仪 质子旋进磁力仪 磁阻传感器 测量原理 法拉第电磁感应，具体是根据物质的磁化非线性来测定磁场强度. 它利用某些软磁材料作为磁芯，再将两级线圈绕在磁芯周围. 在时变磁场的影响下，磁芯的磁化特性在饱和临界点出现周期变化，进而使磁芯上的线圈产生了随环境磁场变化的偶次谐波电势. 这类传感器十分灵敏，分辨率高，鲁棒性良好. 磁通门传感器可用于地球物理勘探和惯性导航等. 一些特殊的原子在外部磁场的作用下会出现塞曼分裂现象，分裂的大小与磁感应强度成比例，精确测定塞曼子能级间的频率，即可计算出此时外部磁场的大小. 这样的原子主要有钾(K39)；铷(Rb87，Rb85)；铯(Cs133)；氦(He4，He3). 依据拉莫尔磁矩进动现象，强磁场使水或碳氢化物中的质子极化，当强磁场突然去掉时，质子就以角速度w绕地磁场旋进. 测定质子的旋进频率即可算出地磁场总强度. 磁阻效应传感器是根据磁性材料的磁阻效应制成的. 磁性材料(如坡莫合金)具有各向异性. 当给带状坡莫合金材料通电流I时，材料的电阻取决于电流的方向与磁化方向的夹角. 磁阻效应传感器一般有四个这样的电阻组成，并将它们接成电桥. 在被测磁场B作用下，电桥中位于相对位置的两个电阻阻值增大，另外两个电阻的阻值减小. 在其线性范围内，电桥的输出电压与被测磁场成正比. 测量物理量 矢量测量 标量测量，磁感应强度大小
(模量)标量测量，磁感应强度大
小(模量)矢量测量 分辨率/nT 0.01 0.001 0.01 300 响应频率/Hz 0~1 000 0~10 0~1 0~106 功耗 ＜1 W ~5 W ~5 W ~1 MW 体积 32 mm×32 mm×150 mm φ 60 mm×150 mm φ 75 mm×175 mm 5 mm×5 mm×1 mm 重量/g 400 600 1 000 1 稳定性 零点随时间漂移较大 好 良好 零点随时间偏移、
随温度漂移较大抗冲击性能 良好 一般 一般 很好 动态响应性能 较好 一般 较差 良好 适用方向 车载、机载、船载、星载 机载、地面 不适合运动平台，适合静止观测 行人、机器人 地磁场的标量测量主要使用质子旋进磁力仪、光泵磁力仪等传感器，其显著特点是测量分辨率精度高，稳定性好，但相应装置的体积较大，功耗较高. 因此，标量测量适合外形尺寸较大的飞行器载体. 地磁场的矢量测量主要使用磁通门磁力仪、磁阻传感器等，同步测量地磁场矢量的三个分量. 矢量测量可获取地磁场的三分量信息，也可通过矢量求模计算间接获得磁场的总强度，实现间接的标量测量. 矢量磁力仪的测量精度、分辨率水平相对较低(0.1~5 nT)，但体积相对较小，能耗、成本较低，故适用于小型飞行器载体、地面车辆、行人等.
3. 航空地磁定位导航技术
航空地磁导航定位技术是指在飞行器载体内应用地磁导航定位技术，这里的飞行器指在大气层内，能飞离地面在空间飞行，可控制其飞行姿态和飞行高度的有人或无人飞行器. 地磁导航定位技术可作为卫星导航定位技术、惯性导航技术等导航定位技术的补充，当卫星导航系统被干扰或不可用时，地磁导航定位系统与惯性导航系统组合，可为飞行器提供位置坐标信息，提高整个导航定位系统的可靠性和稳定性.
3.1 航空地磁定位的特征量的选择
地磁定位参考的特征可以分为直接特征和间接特征，直接特征是指地磁场的七要素，比如地磁场总强度、磁偏角、地磁场北向分量等；间接特征是指除了地磁场的七要素以外的特征，比如地磁场的空间梯度、频谱特征等. 在选择特征量时，对特征量的选择准则可概括为：1)特征量的长期变化比较稳定；2)特征量的短期变化影响较小；3)特征量的实时测量对设备性能要求不高；4)基准图的获取相对容易.
根据航空地磁定位的飞行平台特点，地磁场的总场强度或者总场强度的梯度是比较适合航空地磁定位的特征量. 传感器选择光泵磁力仪或者磁通门磁力仪.
3.2 航空地磁测量的实现
航空地磁能否实现准确定位，在载体磁干扰下实现地磁场的实时准确测量是关键因素. 载体组成部件中的各类磁性体和金属导体，均在其周围空间产生各种复杂的随载体运动状态变化而变化的载体干扰磁场. 特别在载体空间狭小，安装位置受限的情况下，干扰磁场具有相当强度，影响地磁场的准确测量，因此必须在实时测量过程中去除由于载体运动产生的干扰磁场[15].
载体的机械结构、电控装置、发动机、随动部件等，均存在局部强磁场，此外，由于载体姿态的变化，引起载体内部的磁通变化而产生涡流电场，进而感生涡流磁场. 这些构成了对地磁场测量的复杂干扰.
载体固有磁干扰主要包括由载体结构中的硬磁材料产生的剩磁干扰，以及电控装置产生的杂散磁干扰等. 载体固有磁干扰与运动状态无关，但在载体运动时，固有磁场矢量与地磁场矢量的夹角在不断变化，由此引起合成磁场变化，进而产生对测量结果的干扰. 根据载体结构特点，因固有磁干扰引起的干扰是最严重的背景干扰，其干扰强度与固有磁性的量值成正比.
载体的动态磁干扰随着载体运动状态的变化而发生改变，主要包括由载体结构受地磁场磁化而产生的感应磁场(inducing magnetic field)，以及壳体导电材料在地磁场中运动所产生的电涡流磁场(eddy current magnetic field)等，其分布特性比较复杂，对地磁场实时测量结果产生显著干扰.
采用光泵磁力仪作为地磁总强度直接测量仪器，同时使用三轴矢量传感器等提供载体在背景场中的姿态信息，用背景干扰磁场补偿模型，对背景干扰磁场进行补偿，消除载体剩磁、感应磁场和涡流磁场对测量结果的影响，实现对磁场的精确测量，测量系统如图2所示.
3.3 航空地磁定位方法
航空地磁定位常采用批相关处理算法，批相关处理算法的基本思想是：当飞行器运行一段时间后，将惯性导航系统输出的位置估计序列输入预先存储的地磁场基准图得到对应的磁场强度序列(推估强度序列)，与由磁传感器测得的真实航迹下的地磁强度序列(实测强度序列)进行相关处理，所得相关极值点对应的位置就是匹配位置，然后利用这个位置来对惯导系统进行修正.
假设推估强度序列的特征函数为
$T(x,y,z)$ ，实测强度序列的特征函数为$D(x,y,z)$ ，$ (x,y,z) $ 是空间坐标，两序列的几何度量同为$V$ . 则常用的相关极值函数定义为：互相关算法(cross correlation，COR)
$$ {\text{COR}}(T,D) = \frac{1}{V}\oint {_VT(x,y,z) \cdot D(x,y,z)} {\text{d}}v $$ (1) 相关系数算法(correlation coefficient，CC)
$$ \begin{array}{l}{\text{CC}}(T,D) = \\ \displaystyle\frac{{\displaystyle\oint_V {\{ [T(x,y,z) - \bar T] \cdot [(D(x,y,z) - \bar D)]\} {\text{d}}v} }}{{\sqrt {\displaystyle\oint_V {{{[T(x,y,z) - \bar T]}^2}{\text{d}}v} } \sqrt {\displaystyle\oint_V {{{[D(x,y,z) - \bar D]}^2}{\text{d}}v} } }} \end{array}$$ (2) 其中，
$\bar T = \displaystyle\frac{1}{V}\oint_V {T(x,y,z){\text{d}}v} ,\bar D = \frac{1}{V}\oint_V {D(x,y,z){\text{d}}v} $ .平均绝对差算法(mean absolute difference，MAD)
$$ {\text{MAD}}(T,D) = \frac{1}{V}\oint_V {\left| {T(x,y,z) - D(x,y,z)} \right|{\text{d}}v} $$ (3) 均方差算法(Mean Square Difference，MSD)
$$ {\text{MSD}}(T,D) = \frac{1}{V}\oint_V {{{[T(x,y,z) - D(x,y,z)]}^2}{\text{d}}v} $$ (4) 批相关匹配算法具有如下优点：
1) 对初始位置误差要求低；
2) 不必对磁场做任何线性化假设，只要磁场变化特征明显就可以工作；
3) 求得的是全局最优解.
批相关匹配算法需要进一步改进的地方有：
1) 如果推估强度序列由全局产生，即在整个地磁导航参考图中搜索；
2) 对导航系统在采集匹配数据期间的速度误差和航向误差敏感，因此采集数据的长度有限；
3) 存在基准磁图搜索间隔的量化误差，使用小的搜索间隔能减少这种误差，但会增加计算量；
4) 处理数据量大，对数字计算机要求高，实时性较难保证. 无论是基准磁图的搜索、变换，相关计算、比较都有大量数据需要处理，故实时较差.
5) 由于在相关处理算法中，实测强度序列始终以磁传感器采集的数据为基准，并未考虑其误差，故此算法的鲁棒性差.
3.4 航空地磁定位导航应用条件和效能分析
航空地磁定位导航能力受地磁图精度、地磁测量精度、地磁场特征分布的差异性等因素影响，是一个复杂的过程. 图3是某一区域的地磁异常分布图，特征分布较为理想. 图4是定位结果，航空地磁定位一般具有几十米到几百米的定位精度能力，是一种较好的自主定位导航手段.
随着飞行高度的增加，由于地磁场特征变弱，逐渐影响定位精度，故地磁定位一般适用于低空飞行的飞行器.
4. 水下地磁定位导航技术
水下地磁定位导航技术是指在水面或水下航行器内应用地磁定位导航技术，航行器是指可以航行于水面或水下，或两者兼可的航行体，包括载人航行器和无人航行器. 在海洋开发日益重要的现在，航行器能够完成运输、勘探、侦测甚至是军事上的进攻防守等任务，无论是在民用还是在军用上，都扮演着重要的角色. 导航定位技术作为航行器能否顺利执行任务的关键技术之一，发挥着重要作用. 地磁定位导航技术作为一种导航定位手段，为航行器的导航定位提供了多种选择[16-18].
4.1 水下地磁定位的特征量的选择
水下载体一般采取拖曳式测量方式，磁力仪很难姿态稳定，而且磁力仪的姿态和水下载体的姿态并不相同，故无法通过水下载体的姿态测量系统获得磁力仪的姿态，也无法获得磁传感器在大地坐标系下的姿态，所以根据水下平台的运动和磁测特点，水下应用地磁定位导航技术，优选地磁场总场强度是比较适合的特征量，磁力仪传感器可选择光泵磁力仪或者磁通门磁力仪，光泵磁力仪可直接测得地磁场总强度，磁通门磁力仪可通过三分量矢量求和的方式计算得到地磁场总强度[19].
4.2 水下地磁测量的实现
为了减少船体对测量的影响，水下地磁测量尽量选择拖曳式测量方式，拖曳距离与船体的干扰大小有关，船体磁场越大，拖曳距离越远. 一般选择50~100 m.
对每一条测线根据起始位置判断测量方向，定义
$ X $ 方向指东，$ Y $ 方向指北. 对于南北向测线，由南→北，需要在$ Y $ 方向上减去拖鱼至差分全球定位系统(Differential Global Positioning System，DGPS)天线之间线缆长度；反之，则加上拖鱼至DGPS天线之间线缆长度. 对于东西向测线，则需对测量数据进行$ X $ 方向上位置修正，由西→东，需要在$ X $ 方向上减去拖鱼至DGPS天线之间线缆长度；反之，则加上拖鱼至DGPS天线之间线缆长度. 对于斜向，首先根据斜率分别计算$ X $ 、$ Y $ 方向修正值，然后根据$ X $ 、$ Y $ 方向分别进行修正[20-21]. 图5为海洋地磁测量船及主要仪器设备图.4.3 水下地磁定位方法
由于地磁本身存在的扰动性，以及磁力仪拖曳存在一定摆动，即使对非线性函数采用高阶近似，仍然存在非量测的误差干扰. 同时地磁场分布在量测序列的有限区间内，无法保证满足高斯分布. 水下地磁定位采用适用于较大干扰环境，基于蒙特卡罗随机采样的粒子滤波算法[22-23]，解决非线性动态系统过程状态非高斯分布的滤波问题.
滤波中应用蒙特卡罗方法可以追溯至1969年70年代. 作为非线性滤波方法之一的粒子滤波，可以针对非线性和非高斯模型. 它是一种对于给定状态变量分布序列提供迭代蒙特卡罗近似的算法，它通过采集状态空间的大量点近似所需的概率密度函数(probability density function，PDF)，这些点被称为粒子. 每一个粒子对应一个给定的权值，状态变量的分布可以采用依赖于每个粒子的离散分布近似. 每个粒子赋予的概率正比于权重. 这些粒子是按照所需PDF随机选定的采样. 于是，随着粒子数目的增加，它们有效的提供了对于所需PDF的良好近似.
滤波模型的状态误差方程是线性的，为
$$ {{\boldsymbol{X}}_{t + 1}} = {F_t} \cdot {{\boldsymbol{X}}_t} + {{\boldsymbol{w}}_t} $$ (5) 实际应用过程中，可取系统状态误差方程相对简化的模型进行处理.
$ {{\boldsymbol{X}}_t} $ 是状态变量，$ {{\boldsymbol{w}}_t} $ 是状态误差，如下式所示：$$ {{\boldsymbol{X}}_t} = [ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta \varphi }&{\delta \lambda }&{\delta h}&{\delta {V_{\text{E}}}}&{\delta {V_{\text{N}}}}&{\delta {V_{\text{U}}}}&{{\phi _{\text{E}}}}&{{\phi _{\text{N}}}}&{{\phi _{\text{U}}}} \end{array}} ]^{\text{T}} $$ (6) $$ {{\boldsymbol{w}}_t} = {[\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&{{\nabla _{\text{E}}}}&{{\nabla _{\text{N}}}}&{{\nabla _{\text{U}}}}&{{\varepsilon _{\text{E}}}}&{{\varepsilon _{\text{N}}}}&{{\varepsilon _{\text{U}}}} \end{array}]^{\text{T}}} $$ (7) 式中：
$ \delta \varphi $ 、$ \delta \lambda $ 、$ \delta h $ 分别为经度、纬度、高度误差；$ \delta {V_{\text{E}}} $ 、$ \delta {V_{\text{N}}} $ 、$ \delta {V_{\text{U}}} $ 分别为$ n $ 系中E、N、U向速度误差；$ {\phi _{\text{E}}} $ 、$ {\phi _{\text{N}}} $ 、$ {\phi _{\text{U}}} $ 分别为E、N、U向平台误差角；${\nabla _{\text{E}}}、{\nabla _{\text{N}}}、{\nabla _{\text{U}}}$ 为捷联加速度计的零位误差；${\varepsilon _{\text{E}}}、{\varepsilon _{\text{N}}}、{\varepsilon _{\text{U}}}$ 为捷联陀螺的随机漂移.经离散化处理后，磁力仪实时测量的地磁总强度幅值是水下载体位置的非线性函数，在地理坐标系中表示为
$$ z = {h_t}({\varphi _T},{\lambda _T}) + {v_t} $$ (8) 式中：
$ ({\varphi _T},{\lambda _T}) $ 为水下载体在大地坐标系下的真实位置；$ {v_t} $ 为实时测量误差.按照惯性导航系统指示位置
$ ({\varphi _{{\text{INS}}}},{\lambda _{{\text{INS}}}}) $ ，以及状态误差方程的误差分量$ \left( {\delta \varphi ,\delta \lambda } \right) $ ，量测方程可表示为$$ z = {h_t}({\varphi _{{\text{INS}}}} + \delta \varphi ,{\lambda _{{\text{INS}}}} + \delta \lambda ) + {v_t} $$ (9) 由于量测
$ ({\varphi _{{\text{INS}}}},{\lambda _{{\text{INS}}}}) $ 对于每离散时刻惯性导航系统均给出，因此量测方程即是状态误差分量$ \left( {\delta \varphi ,\delta \lambda } \right) $ 的非线性函数.该模型中的状态误差方程与量测方程中的误差向量
$ {w_t} $ 、$ {v_t} $ 可以不满足高斯分布，这增加了滤波算法处理的复杂度.重要性密度函数通常选择转移概率密度函数
$$ q\left( {{x_t}|{X_{t - 1}},{Z_{t - 1}}} \right) = p\left( {{x_t}|{X_{t - 1}},{Z_{t - 1}}} \right) $$ (10) 此时有
$ \lambda _t^{(i)} \propto \lambda _{t - 1}^{(i)}p\left( {{z_t}|\hat{x} _{t - 1}^{(i)}} \right) $ ，满足最优重要性密度函数.利用实测数据对上述方法进行了仿真验证，磁测数据的网格间距为50 m，共480×480个点. 粒子采样数为50 000. 仿真实验结果如图6~8所示，其中虚线为粒子滤波迭代定位单方向误差，而实线为惯性导航指示位置与真实航迹之间的偏差. 由图可以看出，在经过初期的振荡之后，两方向上均趋向真实位置. 同时因为粒子数目较多，收敛的速度较慢.
粒子滤波算法在初始采样估计的过程中，存在偏离载体真实位置的可能，但随着采样估计的递推，可使定位结果恢复至水下载体真实位置附近. 同时虽然水下载体航行低速的特点对算法的实时性要求不高，粒子滤波算法的运算速度方面仍需改进[24].
4.4 水下地磁定位导航应用条件和效能分析
对于水下应用而言，潜艇由于钢结构，潜艇磁场对地磁测量精度影响较大，目前除了拖曳远离外，尚无有效处理方法，这在一定程度上影响了地磁定位在水下平台应用的灵活性.
同样，除了测量精度以外，水下地磁定位导航能力也受水下地磁图精度、地磁场特征分布的差异性等因素的影响，特别受地磁图精度影响，水下地磁定位一般具有几百米到1 km的定位精度能力，但地磁定位作为一种无源被动的定位技术手段，抗干扰能力强，在水下应用也具有一定的独特优势.
5. 地面车辆地磁定位导航技术
无人驾驶汽车和机器人等地面无人交通和运输工具，给人们的工作和生活带来越来越多的便利，随着5G、高分辨率地图、传感器技术、人工智能技术等的发展，无人驾驶车辆受到越来越多的关注，成为新一代信息技术领域的研究热点[25-26]. 国内外对于无人驾驶汽车的研究多衍生于微型轮式移动车辆控制领域，集中于对车辆局部周边环境感知、同时定位与地图构建、运动规划与控制的研究. 实时精确定位行驶中车辆对于车辆导航系统、车联网、无人驾驶汽车等智能车辆技术是十分重要的. 各种采用单一定位源进行独立的定位方案，均存在不同类型缺点：GNSS无法高频输出，且受障碍物干扰严重；惯性导航系统定位误差随时间积累，较长时间后定位结果存在很大偏差，采用单一定位源的车辆定位方法可靠性无法保证. 近年来采用多传感器融合进行车辆定位的方法受到越来越高的重视，特别是地磁定位导航技术，是对现有导航定位技术的一个有效补充[27].
5.1 地面车辆地磁定位的特征量的选择
根据地面车辆的运动特点，磁力仪可固定安装在车上，所以在地面车辆上，和其他场景和平台不同的是，道路上行驶的车辆除了可以选择地磁场总场强度以外，还可以选择三分量作为地磁定位的特征量. 测力仪选择光泵磁力仪或者磁通门磁力仪.
5.2 地面车辆地磁测量的实现
建立磁通门磁力仪零偏、灵敏度、正交误差角三个固有参数与输出磁场强度关系的理论模型，通过标量匹配法，给出基于最小二乘法求解磁力仪的9个固有参数求解算法，然后对磁通门磁力仪的9个固有参数修正.
5.3 地面车辆地磁定位方法
3.3节所述的批相关处理算法在测量噪声较低的情况下，定位效果较好. 结合地面车辆地磁场存在较大扰动、测量误差大的状况，车辆地磁定位采用Huber型M-估计的方法改进前文提出的批相关函数.
M-估计是最大似然率估计的一种常用形式，其中参数
${P^ * }$ 可以通过最大化其对应的似然方程$ F $ 来获得. 求解$ {P^ * } $ 的过程如下所示：$$ {P^ * } = \arg \max \left( { - \ln F} \right) = \arg \max \left( { - \sum\limits_i {\ln f\left( {{r_i}|{\boldsymbol{P}}} \right)} } \right) $$ (11) 式中，参量
$ {r_i} $ 为第$ i $ 数据点的残差. M-估计器可以表征为更一般形式的求解过程如式(10)，其中$ \rho \left( \cdot \right) $ 是对称正定函数，极值唯一且为0，而且阶数低于二次.$$ {P^ * } = \arg \max \left( {M = \sum {\rho \left( {{r_i},{\boldsymbol{P}}} \right)} } \right) $$ (12) 该问题经常归为一个迭代加权最小二乘问题加以解决. 参数向量
$ {\boldsymbol{P}} = {\left( {{p_1},{p_2}, \cdots ,{p_n}} \right)^{\text{T}}} $ 可以通过求解如下两式来估计得到，$ j = 1,2, \cdots ,n $ .$$ \sum {\psi \left( {{r_i},P} \right)\frac{{\partial {r_i}}}{{\partial j}}} = 0 $$ (13) $$ \psi \left( r \right) = \frac{{{\mathrm{d}}\rho \left( r \right)}}{{{\mathrm{d}}r}} $$ (14) 影响函数
$ \psi \left( \cdot \right) $ 衡量数据点对参数估计值的权重. 对于一个容错性较好的估计器，任何一个单点数据并不引入明显的错误，这就使得它对野值不敏感. 具体的M-估计器应该在${\boldsymbol{P}}$ 中有界并且为凸集. 而且当${{\partial {\rho ^2}\left( \cdot \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {\rho ^2}\left( \cdot \right)} {\partial {P^2}}}} \right. } {\partial {{\boldsymbol{P}}^2}}} = 0$ 时，${{\partial \rho \left( \cdot \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \rho \left( \cdot \right)} {\partial P}}} \right. } {\partial {\boldsymbol{P}}}} \ne 0$ .Huber函数是M-估计器的一种有效实现方式. 它是0值附近的抛物线，在给定的
$ \left| r \right| > k $ 范围内线性增加，这限制了野值的影响. 利用该估计器，标准正态分布接近95%的渐进效率可以通过调谐常数$ k = 1.345\sigma $ 获得，其中$ \sigma $ 是误差的估计标准偏差. 对于调谐常数$ k $ 的相同值，它对于很多正态分布同等有效. 构成M-估计器的方程$ \rho \left( \cdot \right) $ 和影响函数$ \psi \left( \cdot \right) $ 如式(15)~(16)所示.$$ \rho \left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{r^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{r^2}} 2}} \right. } 2}}&{\left| r \right| < k} \\ {k\left( {\left| r \right| - {k \mathord{\left/ {\vphantom {k 2}} \right. } 2}} \right)}&{\left| r \right| \geqslant k} \end{array}} \right. $$ (15) $$ \psi\left(r\right)=\left\{\begin{array}{*{20}{c}}r & \left|r\right| < k \\ k\cdot\mathrm{sign}\left(r\right) & \left|r\right|\geqslant k\end{array}\right. $$ (16) Huber型M-估计器相关度(Huber’s M-estimation Corelation, HMC)给出了测量序列与基准磁图中的供比较序列之间的相似度度量，它的值可以利用Huber统计计算得到. 相关的掩膜函数可以压缩野值的影响. 为计算相关度的标准差
$ \sigma $ 是一个关键参数，它可以通过测量序列和可供比较序列的残差自适应寻找过程中计算出来.假定
$ {s_i} $ 和$ {S_i} $ 分别代表测量序列和供匹配序列的数据点值，而$ m $ 和$ M $ 分别表示影响函数.第1步：利用式(16)的影响函数，掩膜函数
$ m\left( i \right) $ 和$ M\left( i \right) $ 计算如下.$$ m\left( i \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_i}}&{\left| {{r_i}} \right| < {k_1}} \\ {{k_1} \cdot {\mathrm{sign}}\left( {{r_i}} \right)}&{\left| {{r_i}} \right| \geqslant {k_1}} \end{array}} \right. $$ (17) $$ M\left( i \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {r{'_i}}&{\left| {r{'_i}} \right| < {k_2}} \\ {{k_2} \cdot {\mathrm{sign}}\left( {r{'_i}} \right)}&{\left| {r{'_i}} \right| \geqslant {k_2}} \end{array}} \right. $$ (18) 其中残差
$ {r_i} = {s_i} - \bar s $ ，$ r{'_i} = {S_i} - \bar S $ ，$ {k_1} = 1.345{\sigma _1} $ ，$ {k_2} = 1.345{\sigma _2} $ .$ {\sigma _1} $ 和$ {\sigma _2} $ 分别是测量序列和供匹配序列残差的标准偏差.第2步：按照式(16)迭代计算测量序列与供匹配序列之间的HMC值.
$$ {\text{HMC}} = \frac{{\displaystyle\sum_{i = 1}^n {M\left( i \right)\left( {{r_i}'} \right)m\left( i \right)\left( {{r_i}} \right)} }}{{\sqrt {\displaystyle\sum_{i = 1}^n {m\left( i \right){{\left( {{r_i}} \right)}^2}} } \sqrt {\displaystyle\sum_{i = 1}^n {M\left( i \right){{\left( {{r_i}'} \right)}^2}} } }} $$ (19) 第3步：计算HMC 最大值所对应的位置，可作为车辆当前时刻的位置.
5.4 地面车辆地磁定位导航应用条件和效能分析
从原理上讲，地面车辆地磁定位导航能力也受道路地磁图精度、地磁测量精度、地磁场特征分布的差异性等因素影响. 不同的应用场景，上述因素对地磁定位能力的影响权重不同. 对于地面地磁定位应用，更多要考虑周围环境引起的测量噪声和干扰，比如距离较近的其他车辆等. 地面车辆地磁定位一般可取得几米到十几米的定位精度能力，通过路径约束和规划可进一步提高定位精度.
6. 行人地磁定位导航技术
面向行人的导航定位技术特别是室内/地下等封闭空间的行人定位成为当前的研究热点. 行人导航定位可以用于消费者在购物中心、车站、机场、场馆等的室内信息指引，帮助消费者快速找人、找店、找车、找停车位，提升用户出行、消费和娱乐体验；在一些特殊行业，比如化工厂、矿山、电厂，出于安全监管，需要对人员的定位跟踪，当人员误入危险区域时，及时报警，提升企业安全管理的智能化水平；在应急救援搜救、反恐、消防、军事、执法、罪犯跟踪等应用领域，通过定位，掌握任务执行人员的位置和状态，确保任务安全可靠协同高效执行[28-30].
位置服务对行人意义重大，但是人类70%的活动场景在室内，而GNSS适合室外无遮挡区域的位置服务，所以行人导航定位不能完全依赖GNSS，地磁定位导航技术为行人在室内或者地下等封闭空间的位置服务提供了一种技术途经.
6.1 行人地磁定位的特征量的选择
通过行人携带的智能手机或者其他定制终端随着人的行走，其内部的磁传感器芯片不断采集磁场数据，并完成定位计算. 由于磁传感器无法和行人进行固定连接，所以只能选择地磁场总强度作为行人地磁定位的特征量[31].
6.2 行人地磁测量的实现
人员定位对传感器的成本、大小和易用性提出了特别要求，随着芯片技术的发展，目前磁阻传感器已经可以满足人员定位需求，所以人员定位选择磁阻传感器作为磁场测量仪器，通过三分量磁场合成总场强度实现定位.
6.3 行人地磁定位方法
对于行人地磁定位，首先完成地磁数据库的构建；在定位阶段，提取智能手机提供的角速度、加速度、磁以及蓝牙扫描得到的信号强度，首先基于加速度数据进行行人步态检测及步长估计，并结合航向信息进行行人航位推算 (pedestrian dead reckoning，PDR)，然后将磁场数据和PDR结果进行对应，提取一定长度的含有相对位置的磁场数据，完成位置计算.
行人航位推算由式(20)计算得到：
$$ \left\{\begin{array}{*{20}{c}}\mathrm{Po}\mathrm{s}_{x_i}=\mathrm{Po}\mathrm{s}_{x_{i-1}}+\mathrm{Le}\mathrm{n}_{\mathrm{step}}\times\cos(\psi) \\ \mathrm{Po}\mathrm{s}_{y_i}=\mathrm{Po}\mathrm{s}_{y_{i-1}}+\mathrm{Le}\mathrm{n}\mathrm{_{step}}\times\sin(\psi)\end{array}\right. $$ (20) 式中：
$ \mathrm{Pos}_{x_i} $ 、$ \mathrm{Pos}_{y_i} $ 为当前相对位置；$ \mathrm{Len_{step}} $ 表示当前一步的步长；$\psi $ 表示由智能设备输出的航向信息.行人步态检测基于式(21)得到
$$ \left\{ \begin{gathered} {\mathrm{Var}}({\mathrm{Acc}}) > {\mathrm{throld}}{1_{{\text{acc}}}} \\ {\mathrm{Ac}}{{\mathrm{c}}_{\max }} - {\mathrm{Ac}}{{\mathrm{c}}_{\min }} > {\mathrm{throld}}{2_{{\text{acc}}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (21) 式中，
${\mathrm{Acc}}$ 为合加速度；$ {\mathrm{throld}}{1_{{\text{acc}}}} $ 为合加速度阈值；${\mathrm{Var}}$ 为方差；$ {\mathrm{Ac}}{{\mathrm{c}}_{\max }} $ 为设定周期内合加速度的最大值；$ {\mathrm{Ac}}{{\mathrm{c}}_{\min }} $ 为设定周期内合加速度的最小值；$ {\mathrm{throld}}{2_{{\text{acc}}}} $ ：为设定周期内合加速度峰峰值阈值.行人步长估计由式(22)获得
$$ \mathrm{Le}\mathrm{n}_{\mathrm{step}}=\frac{0.15\times fs}{fs_{\mathrm{step}}}+0.3 $$ (22) 式中：
$fs$ 为惯性传感器采集频率；$f{s_{{\mathrm{step}}}}$ 为当前一步持续的时长.$$ \begin{array}{l} {\mathrm{di}}{{\mathrm{s}}}_{i}=\\\left\{\begin{array}{cc} 100000000,& \text{待定位样本轨迹穿越障碍物}\\ \displaystyle \frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}|{M}_{{\mathrm{now}},j}-{M}_{db,i}|},& {\mathrm{other}}\end{array}\right. \end{array} $$ (23) 式中：
$ {\mathrm{di}}{{\mathrm{s}}_i} $ 为待定位样本i计算得到的距离；$ {M_{{\text{now}},j}} $ 为当前轨迹第j个点对应的磁场值；$ {M_{db,i}} $ 为基于当前待定位样本提取得到的磁场数据库中的第j个磁场值；$n$ 表示当前轨迹上含有的磁场数据数目.基于式(23)计算得到距离信息后，根据式(24)计算初步的每个待定位样本的权重.
$$ {w_i} = \frac{1}{{{\mathrm{di}}{{\mathrm{s}}_i}}} $$ (24) 然后基于式(24)对权重进行归一化
$$ {w_i} = \frac{{{w_i}}}{{\displaystyle \sum\limits_{j = 1}^R {{w_j}} }} $$ (25) 最后通过式(23)获取最终的定位结果计算.
$$ {\mathrm{Pos}} = \sum\limits_{j = 1}^R {{w_j}({x_j},{y_j})} $$ (26) 式中，
$ ({x_j},{y_j}) $ 表示第j个待定位样本所处的平面位置.对本文所描述的多源信息融合定位方法进行试验验证，验证场所选取为办公室环境，并包含一条长直走廊. 扫描设备扫描到的场景平面图如图9所示，长50 m，宽20 m. 生成的磁场平面分布如图10所示.
进行定位验证时，行走轨迹如图11所示，实时定位结果如图12所示，误差概率累积分布图如图13所示，60%概率下定位误差小于1.4 m.
6.4 行人地磁定位导航应用条件和效能分析
由于定位终端不能与行人固定连接，所以行人地磁定位导航需要实时解算定位终端坐标系与行人导航坐标系的转换关系，在复杂的室内应用场景下，存在由于行人航向获取失败，地磁定位失效的风险. 因此行人地磁定位导航能力与行人佩戴定位终端的方式有关，一般情况下，定位终端腰带式效果最好，手持式次之，头戴式较差. 行人地磁定位一般可取得60 cm到2 m的定位精度能力，通过约束人员佩戴方式，能够确保地磁定位保持在较高定位精度水平.
7. 结束语
本文对地磁定位在不同的应用场景和应用平台下的实现过程进行了详细描述，由于磁场信息天然存在、变化丰富；磁场定位是无源定位，不需要借助外在通信信号，不向外辐射能量，隐蔽性强；一般人工很难产生大范围的固有磁干扰，影响环境磁场分布特性，而环境中的电流、电气设备开关机、无线电等产生的随机干扰磁场其频谱和环境固有磁场的频谱存在明显差异，可以通过专业的磁信号处理方法进行识别处理，因此磁场定位具有较强的抗干扰能力，广泛的适应性，为特殊场景的导航定位提供了一条重要的技术途径.
但是同依赖环境信息进行定位导航的其他定位导航手段一样，地磁定位导航能力对地磁场基础数据具有较强的依赖性，需要提前获取，这在一定程度上限制和制约了地磁定位导航技术的发展；后续可通过丰富磁场数据测量手段，提高测量效率，以降低数据获取的难度和复杂程度，提高地磁定位导航技术应用的便利性.
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表 1 主流磁力仪传感器
性能指标 磁通门磁力仪 光泵磁力仪 质子旋进磁力仪 磁阻传感器 测量原理 法拉第电磁感应，具体是根据物质的磁化非线性来测定磁场强度. 它利用某些软磁材料作为磁芯，再将两级线圈绕在磁芯周围. 在时变磁场的影响下，磁芯的磁化特性在饱和临界点出现周期变化，进而使磁芯上的线圈产生了随环境磁场变化的偶次谐波电势. 这类传感器十分灵敏，分辨率高，鲁棒性良好. 磁通门传感器可用于地球物理勘探和惯性导航等. 一些特殊的原子在外部磁场的作用下会出现塞曼分裂现象，分裂的大小与磁感应强度成比例，精确测定塞曼子能级间的频率，即可计算出此时外部磁场的大小. 这样的原子主要有钾(K39)；铷(Rb87，Rb85)；铯(Cs133)；氦(He4，He3). 依据拉莫尔磁矩进动现象，强磁场使水或碳氢化物中的质子极化，当强磁场突然去掉时，质子就以角速度w绕地磁场旋进. 测定质子的旋进频率即可算出地磁场总强度. 磁阻效应传感器是根据磁性材料的磁阻效应制成的. 磁性材料(如坡莫合金)具有各向异性. 当给带状坡莫合金材料通电流I时，材料的电阻取决于电流的方向与磁化方向的夹角. 磁阻效应传感器一般有四个这样的电阻组成，并将它们接成电桥. 在被测磁场B作用下，电桥中位于相对位置的两个电阻阻值增大，另外两个电阻的阻值减小. 在其线性范围内，电桥的输出电压与被测磁场成正比. 测量物理量 矢量测量 标量测量，磁感应强度大小
(模量)标量测量，磁感应强度大
小(模量)矢量测量 分辨率/nT 0.01 0.001 0.01 300 响应频率/Hz 0~1 000 0~10 0~1 0~106 功耗 ＜1 W ~5 W ~5 W ~1 MW 体积 32 mm×32 mm×150 mm φ 60 mm×150 mm φ 75 mm×175 mm 5 mm×5 mm×1 mm 重量/g 400 600 1 000 1 稳定性 零点随时间漂移较大 好 良好 零点随时间偏移、
随温度漂移较大抗冲击性能 良好 一般 一般 很好 动态响应性能 较好 一般 较差 良好 适用方向 车载、机载、船载、星载 机载、地面 不适合运动平台，适合静止观测 行人、机器人 
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