Analysis and comparison of satellite clock error prediction based on various deep learning algorithms
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摘要: 针对卫星钟差预报模型的普遍适用性低，以及预报模型中星载原子钟类型和建模特点结合不充分等问题，提出了四种适用于非线性处理的神经网络模型来预报卫星钟差. 首先对钟差数据进行预处理；然后通过基于萤火虫算法(firefly algorithm, FA)优化反向传播(back propagation，BP)神经网络(FA-BP neural networks，FA-BPNN)模型、Elman循环神经网络模型、径向基函数(radial basis function，RBF)神经网络模型以及基于卷积神经网络-长短期记忆 (convolutional neural networks-long short term memory，CNN-LSTM) 网络模型对1 d和7 d的钟差数据量建立模型；再采用武汉大学国际GNSS服务(International GNSS Service，IGS)数据分析中心(WHU)的GPS精密钟差数据进行钟差预报；最后从不同建模数据量及不同批次卫星的同一类型原子钟和不同批次卫星的不同类型原子钟的角度，将预报效果进行分析与对比. 结果表明：1)四种模型在建模特点上，1 d的钟差数据量建模精度均比7 d的钟差数据量建模预报精度高. 其中，RBF神经网络模型随着钟差建模数据增加时，预报精度影响变大，预报精度从亚纳秒量级变化到几十纳秒量级. 2)四种神经网络模型预报精度与卫星在轨运行时长以及星载原子钟类型相关；在轨运行时间长的卫星其预报的性能不一定差，不同批次卫星的不同类型原子钟的预报效果的性能可能一样；其铯原子钟类型卫星在四种神经网络模型预报中精度最好.Abstract: Aiming at the problems of the low applicability of the satellite clock error prediction model and the insufficient combination of the type of the satellite-borne atomic clock and the modeling characteristics in the prediction model, four kinds of neural network models suitable for nonlinear processing are proposed to predict satellite clock error. Firstly, the clock error data is preprocessed. Then, the firefly algorithm models were established by using the back-propagation (FA-BPNN) model, the Elman cyclic (Elman) model, the radial basis function (RBF) model, and the convolutional neural network data of 1 d and 7 d based on the CNN-LSTM model GPS precise clock error data from the Wuhan University International GNSS service (IGS) data analysis center (WHU) are used for clock error prediction At last, the effect of the prediction is analyzed and compared from the point of view of different modeling data and different batches of satellites with the same type of atomic clock and different batches of satellites with different types of atomic clock. The results show that: 1) the modeling accuracy of 1 d clock error data is higher than that of 7 d clock error data, and the RBF model has the greatest influence on the prediction accuracy with the increase of clock error data, and the prediction accuracy changes from sub-nanosecond to tens of nanosecond. 2) the prediction accuracy of the four neural network models is related to the satellite operating time in orbit and the type of atomic clock on board. The prediction performance of the satellites with long operating time in orbit is not necessarily bad, and the prediction performance of different types of atomic clock on different batches of satellites may be the same. The cesium atomic clock type satellite has the best prediction accuracy among the four neural network models.
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Keywords:
- GPS /
- satellite clock error /
- deep learning /
- neural network model /
- satellite clock error forecast
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0. 引 言
高精度定位、导航与授时(positioning, navigation and timing，PNT)服务需要高精度轨道和钟差产品. 卫星钟差是GNSS中的重要参数之一，其性能的好坏直接影响导航和定位的精度. 因此，准确预报卫星钟差的变化趋势对于提高卫星导航系统的性能至关重要[1-3]. 然而，目前原子钟的稳定性无法满足厘米级实时定位的需求[4]，仍然有待提高. 因此，钟差实时预报已成为国内外卫星导航理论与实践的热点问题.
近年来，为进一步提高卫星钟差实时预报的精度，许多学者对卫星钟差预报方法展开了大量研究工作，取得了巨大的成果. 如文献[5]指出在利用一次差研究的基础上，利用思维进化算法(mind evolutionary algorithm，MEA)优化的反向传播(back propagation，BP)神经网络模型进行卫星钟差预报，精度和稳定性显著提高；文献[6]提出了一种基于长短期记忆(long short term memory，LSTM)神经网络的钟差预报模型，克服了多项式模型在卫星频率快速变化期间精度衰减快的问题；文献[7]提出了粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)进行Elman神经网络优化的钟差预报寻求最优的阈值和权值来改善Elman神经网络预报的稳定性；文献[8]指出了一种基于变化率的T-S模糊神经网络(T-S fuzzy neural network, TSFNN)钟差预报模型，计算相邻历元间钟差的变化率值并对其进行建模，实现了卫星钟差较高精度的预报；文献[9]提出了一种基于麻雀搜索优化算法(sparrow search algorithm，SSA)优化BP神经网络的卫星钟差预报方法，利用SSA较强的全局搜索寻优功能，改善了局部最优易陷问题，大大提高了预报精度. 目前，各种预报模型都具有各自的优点和局限性，卫星钟差预报模型又呈现多元化. 但是，因为预报模型未充分考虑卫星原子钟类型及卫星在轨运行时间和建模特点等因素[10]，所以适用性普遍较差. 因此，针对上述问题，本文采用WHU分析中心提供的GPS精密钟差产品，从不同钟差数据量建立模型以及不同批次卫星的同一类型原子钟和不同批次卫星的不同类型原子钟的角度，使用四种神经网络预测模型进行钟差预报，并通过预报结果对各神经网络模型的预报效果进行了分析与比较.
1. 钟差预报模型
1.1 FA-BP神经网络模型
BP神经网络是一种按误差反向传播的前馈神经网络，由输入层、隐含层以及输出层组成；学习能力存储功能高，是一类高度自适应的非线性动态网络[9]. 因此，BP神经网络使用误差BP算法进行训练，该算法通过计算每一层的误差信号，并根据权重调整公式更新每一层的权重矩阵.
BP神经网络的隐含层可为多层，为提高运算效率，本文的隐含层层数设为2. 激活函数是Sigmoid函数，即函数式为
$$ f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {{\text{e}}^{ - x}}}} $$ (1) 该函数为连续的可导函数，可把数据从[−∞,+∞]投影到区间[0,1]中[11]. 完成输入层运算后，相对应的输出层的计算公式为
$$ O_{n,j}=f\left(I_{n,j}\right) $$ (2) 式中：
$ O_{n,j} $ 为BP神经网络得到的输出值.权值更新公式为
$$ \omega \left( {t + 1} \right) = \omega \left( t \right) + \eta \varepsilon \left( t \right)y\left( t \right) $$ (3) 式中：
$ t $ 为迭代次数；$ \varepsilon \left(t\right) $ 为期望输出与实际输出之差；$ \eta $ 为学习效率；$ y\left(t\right) $ 为神经元的输出值.萤火虫算法(firefly algorithm, FA)是基于萤火虫的闪光行为，它是一种用于全局优化问题的智能随机算法[11]. 在FA中，认为所有的萤火虫都是雌雄同体的，无论性别如何，它都互相吸引. 该算法的建立基于两个关键的概念：发出光的亮度和两个萤火虫之间产生吸引力的程度. 即萤火虫算法的主要步骤如下：
1) 初始化的参数设置为：萤火虫数量为
$ n $ ；最高吸引度为$ {\;\beta }_{0} $ ；步长因子为$ \alpha $ ；光强吸收系数为$ \gamma $ 以及最大迭代次数.2) 初始化：通过随机初始化萤火虫的位置计算萤火虫的目标函数，分别计算最大荧光高度
$ {I}_{0} $ .3) 萤火虫算法中，首先需要计算每个萤火虫相对高I和吸引度
$ \;\beta $ 的值. 接着，通过比较相对光的亮度大小，来决定萤火虫的运动方向，由此，更新空间内位置，使处于最佳位置的萤火虫随机移动，计算公式为：$$ {I_r} = {I_0}{{\text{e}}^{ - \gamma {r^2}}} $$ (4) $$ \beta = {\beta _0}{{\text{e}}^{ - \gamma {r^2}}} $$ (5) $$ X_i^{t + 1} = X_i^t + {\beta _0}{{\text{e}}^{ - \gamma r_{ij}^2}}\left( {X_j^t - X_i^t} \right){ + _{_{}}}\alpha \varepsilon _i^t $$ (6) 4) 依据萤火虫位置的更新重新计算萤火虫的亮度
$ {I}_{0} $ ，计算全局极值点和最佳个体值.BP神经网络通过反复训练过程调节各个权重和阈值，以使输出值接近期望值. 但是，初始权重和阈值的选择对于BP神经网络的预报精度非常重要，且容易出现局部最优解的现象. 针对这种现象，本文通过FA算法优化BP神经网络获得了最佳的初始化权重和阈值，可以避免BP神经网络陷入局部最优解的现象，从而大大提高了卫星钟差预报的精度. 即对卫星钟差原始数据进行中位数探测剔除异常数后，利用FA-BP神经网络模型进行卫星钟差预测，流程图如图1所示.
1.2 Elman神经网络模型
Elman神经网络中引入了一个称为“承接层”的结构，在标准BP神经网络的基础上，它使其成为了一种循环神经网络. 该层接收来自前一时刻的隐含层的输出，并将其作为当前时刻的输入. 这个额外的承接层提供了Elman神经网络的记忆能力，它可以使用过去的信息来影响当前的决策. 这种局部反馈机制帮助网络动态地存储并处理时序性输入，使Elman神经网络在时间序列问题上的适用性更强[12].
在Elman神经网络中，输入层神经元传输信号的同时，隐含层神经元选择Sigmoid函数作为激活函数，并通过输出层神经元进行线性加权处理，其公式为：
$$ {\boldsymbol{x}}\left( k \right) = f\left( {{\omega _1} \cdot {{\boldsymbol{x}}_c}\left( k \right) + {\omega _2} \cdot {\boldsymbol{\mu }}\left( {k - 1} \right)} \right) $$ (7) $$ {{\boldsymbol{x}}_c}\left( k \right) = {\boldsymbol{x}}\left( {k - 1} \right) $$ (8) $$ {{\boldsymbol{y}}_k} = g\left( {{\omega _3} \cdot {\boldsymbol{x}}\left( k \right)} \right) $$ (9) 式中：
$ \boldsymbol{x}\left(k\right) $ 为$ n $ 维的隐含层节点向量；$ {\boldsymbol{y}}_{k} $ 为$ m $ 维的输出层节点向量；$ g\left(\mathrm{*}\right) $ 为输出神经元中的传递函数；$ f\left(\mathrm{*}\right) $ 为隐含层神经元中的传递函数.对于Elman神经网络，通过加入动量的梯度下降BP算法来对连接的权重进行修正. 同时，误差平方和函数作为学习的目标函数，其公式为
$$ E\left( \omega \right) = {\sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {{{\boldsymbol{y}}_k}\left( \omega \right) - {{\hat {\boldsymbol{y}}}_k}\left( \omega \right)} \right]} ^2} $$ (10) 式中，
$ {\boldsymbol{y}}_{k}\left(\omega \right) $ 为目标输入向量.采用Elman神经网络模型预报钟差，其关键在于针对卫星钟差的特点选择最佳的网络结构.根据研究表明，输出层神经元的数量等于需要输出的数据类型的数量，在本文中，需要输出一种数据类型，因此输出层神经元数量为1. 另一方面，隐含层神经元的数量根据钟差数据进行建模，选择不同数量的隐含层神经元来预报钟差；根据均方根(root mean square，RMS)的变化情况选择最佳的网络结构. 其网络模型图如图2所示.
1.3 RBF神经网络模型
RBF神经网络是以函数逼近原理为依据建立的一种常用的三层前馈神经网络，主要由输入层、隐含层和输出层构成. 从输入层到隐含层所构成的变换过程是非线性的，从隐含层到输出层所构成的变换过程是线性的[13]. RBF神经网络中的主要变换函数为RBF，RBF中心点的确定对网络学习和训练结果有重要影响. 本文选取最常见的高斯函数作为RBF，其形式为
$$ {f_i}\left( {\boldsymbol{x}} \right) = \exp \left[ { - {{\frac{{\left\| {{\boldsymbol{x}} - \left. {{{\boldsymbol{c}}_i}} \right\|} \right.}}{{2\sigma {i^2}}}}^2}} \right],i = 1 - h $$ (11) 式中：
$ \boldsymbol{x} $ 为输入向量；$ {\boldsymbol{c}}_{i} $ 为第$ i $ 个基函数的中心；$ {\sigma }_{i} $ 为基函数的中心点的宽度；$ \Vert \boldsymbol{x}-{\boldsymbol{c}}_{i}\Vert $ 为向量$ \boldsymbol{x}-{\boldsymbol{c}}_{i} $ 的范数；$ h $ 为隐层神经元的个数. 其网络模型图如图3所示.1.4 CNN-LSTM神经网络模型
卷积神经网络(convolutional neural networks，CNN)适用于获得空间结构上的多维时间序列数据的特征. 该网络主要由卷积层和池化层构成，其中卷积层和池化层采用局部连接和权值共享的方式，在交替使用后可以从原始数据中提取局部特征[14]. 本文的钟差数据是一维时间序列数据，即选择一维卷积神经网络，假设其第I层为卷积层，则一维卷积的计算为
$$ x_k^l = f\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {x_i^{l - 1} * w_{ik}^l + b_k^l} } \right) $$ (12) 式中：
$ {{x}^{l}_{k}} $ 是$ l $ 层第$ k $ 次卷积映射；$ f $ 是激活函数；$ {{w}^{l}_{ik}} $ 是$ l $ 层的权重；$ {{b}^{l}_{\mathrm{k}}} $ 为$ l $ 层相对应第$ k $ 个卷积核的偏置.LSTM网络是循环神经网络的一种，相比于传统的循环神经网络(recurrent neural network，RNN)，LSTM网络可以进一步解决时间序列问题. LSTM网络在隐含层内部的特征上更复杂，增加了输入门、输出门和遗忘门三部分，并且添加了用于存储记忆信息的单元[19]. 各变量之间的函数关系为：
$$ {f_t} = {\text{sigmoid}}\left( {{w_{fx}}{x_t} + {w_{fs}}{s_{t - 1}} + {b_t}} \right) $$ (13) $$ {i_t} = {\text{sigmoid}}\left( {{w_{ix}}{x_t} + {w_{is}}{s_{t - 1}} + {b_i}} \right) $$ (14) $$ {\tilde c_t} = \tanh \left( {{w_{cx}}{x_t} + {w_{cs}}{s_{t - 1}} + {b_c}} \right) $$ (15) $$ {o_t} = {\text{sigmoid}}\left( {{w_{ox}}{x_t} + {w_{os}}{s_{t - 1}} + {b_c}} \right) $$ (16) $$ {\hat c_t} = \tanh \left( {{c_t}} \right) $$ (17) 式中：
$ {f}_{t} $ 是遗忘门的输出信号；$ {i}_{t} $ 是输出门的信号；$ {\tilde{c}}_{t} $ 是输入到记忆单元$ c $ 中的预备信息；$ {o}_{t} $ 是输出门的输出信号；$ {\hat{c}}_{t} $ 是当前将要输出到隐含层状态$ s $ 的预备信息.CNN-LSTM网络模型，本文采用历史数据作为预报模型的输入，预报值作为输出. 因此将一维的钟差数据输入到CNN-LSTM网络中. 首先，在CNN中，由一维卷积核对钟差数据进行卷积层和池化层的操作，以获得钟差数据在空间结构上的特征分量. 然后，LSTM网络根据得到的特征分量进行时间序列预测. 最后，使用单隐含层的深度神经网络作为CNN-LSTM网络模型的输出层，用于预报钟差数据，并输出T时刻的预报结果. 在这个模型中，全连接层是最后一个用于处理输入数据的层. 其CNN-LSTM网络预报模型如图4所示.
2. 试验分析
使用WHU分析中心提供的GPS最终精密钟差数据，采样间隔为30 s，进行预报试验. 以GPS 周2038—2042 (2019-01-27—2019-02-25)共30 d数据为例；根据所选数据时间段，当前在轨运行的GPS卫星可被分为Block IIF Rb、Block IIA Cs、Block IIR-M Rb、Block IIR Rb、Block IIF Cs、Block IIA Rb六种类型. 在每一类卫星中，随机选择数据完整的卫星进行预报，本文选取了G01、G03、G06、G08、G09、G12、G22、G24和G26卫星进行预报试验.
具体的试验方案设计为：1)在每一类卫星中随机选取数据完整的一颗卫星进行预报，分别用1 d和7 d的钟差数据拟合建立四种神经网络模型，并进行连续10次预报1 d的钟差数据. 同时，将结果与相应的精密钟差数据进行对比，评估四种模型的预报效果. 2)按发射时间划分卫星批次，选取同一年份和不同年份数据完整的卫星. 利用1 d的钟差数据量建立四种神经网络模型，预报1 d钟差数据. 比较和分析四种神经网络模型，对不同批次卫星的同一类型原子钟和同批次卫星的同类型原子钟的预报效果.
采用均方根误差(root mean square error，RMSE)作为预报精度的统计量，其中RMSE的计算公式为：
$$ \begin{gathered} {\text{RMSE}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{\rm{erro}}{{\rm{r}}_i}} \right)}^2}} } \end{gathered} $$ (18) $$ {\rm{erro}}{{\rm{r}}_i} = {t_i} - {\hat t_i} $$ (19) 式中：
$ {{\rm{error}}}_{i} $ 为预报误差；$ {\hat{t}}_{i} $ 为$ {t}_{i} $ 时刻GPS精密钟差值；$ {t}_{i} $ 为$ i $ 时刻钟差预测值.2.1 单一预报模型分析
2.1.1 FA-BP神经网络模型分析
文中分别采用2019-01-27 (1 d)与2019-01-28—2019-02-03 (7 d)的钟差数据建立FA-BP神经网络模型，分别预报接下来1 d的钟差序列.
图5展示了6颗卫星连续10次预报的RMSE的统计结果. 同时，将各颗卫星10次预报的RMSE取平均值，得到统计表如表1所示.
表 1 FA-BP模型预报的RMSE值平均值统计ns 卫星 1 d数据建模预报 7 d数据建模预报 G01 4.50 27.10 G08 0.64 27.70 G12 2.18 27.13 G22 7.41 28.93 G24 0.23 28.20 G26 8.51 27.15 由图5(a)FA-BP模型的预报结果可知，G08和G24号卫星预报中，RMSE较小，且达到亚纳秒量级；然而，对于其他卫星的连续10次预报，RMSE发生了明显的不稳定波动，且误差值较大. 图5(b)的预报结果和表1的RMSE平均值统计结果表明，对于建立模型的钟差数据量增加，FA-BP模型的连续10次预报的结果变化较平稳，其平均预报精度约在27 ns，总体预报效果不如1 d的钟差数据建模预报.
2.1.2 Elman神经网络模型分析
对6颗卫星建立Elman神经网络模型，统计连续10次预报的RMSE和平均值，统计结果如图6和表2所示.
表 2 Elman模型预报的RMSE值平均值统计ns 卫星 1 d数据建模预报 7 d数据建模预报 G01 11.93 27.97 G08 3.13 28.15 G12 4.72 28.11 G22 15.76 28.00 G24 1.34 28.36 G26 18.13 26.57 由图6和表2可知，对于1 d的钟差数据建模预报中，钟差预报变化不平稳的序列(如G26号卫星钟)，Elman模型预报的精度较差，其平均预报误差最大可达18 ns. 对7 d的钟差数据建模预报，除G26号卫星的钟差变化不平稳，其余卫星的钟差变化都较平稳，其预报精度平均值在26 ns以上，总体预报效果不如1 d的钟差数据建模预报.
2.1.3 RBF神经网络模型分析
对多颗卫星连续10次预报1 d的RMSE的结果进行统计，如图7所示后，将各卫星的10次预报的RMSE取平均值，结果如表3所示.
表 3 RBF神经网络模型预报的RMSE值平均值统计ns 卫星 1 d数据建模预报 7 d数据建模预报 G01 0.02 26.33 G08 0.07 25.78 G12 0.12 27.93 G22 0.09 17.61 G24 0.13 33.83 G26 0.02 33.03 由图7和表3分析可知，在1 d的钟差数据建立模型预报下，G12和G22号卫星的钟差序列变化不稳定，RBF神经网络模型预报的精度总体较高，其平均误差达到亚纳秒. 而在7 d的钟差数据建立模型预报下，G22、G24和G26号卫星的钟差序列变化不稳定，其余卫星的钟差序列变化稳定，总体预报精度不如1 d的钟差数据建模预报.
2.1.4 CNN-LSTM神经网络模型分析
利用CNN-LSTM神经网络进行预报时，首先需要对钟差数据进行一次差分处理，然后使用差分后的数据进行网络训练. 为了得到预测结果，需要将预测数据进行累加，最终还原为钟差预报序列.
对6颗卫星连续10次1 d预报的RMSE及平均值进行统计，统计结果如图8和表4所示.
根据图8和表4统计结果分析，1 d的钟差数据建立模型预报时，G08号卫星的钟差序列变化不平稳，其余卫星的卫星钟差序列变化都较稳定，其预报精度均在9 ns以内. 而对于7 d的钟差数据建立模型预报时，其中，G12、G22和G24号卫星连续10次预报1 d的平均预报精度约为3 ns；而G01、G08和G26号卫星的平均预报精度达到14 ns以上.
表 4 CNN-LSTM模型预报的RMSE值平均值统计ns 卫星 1 d数据建模预报 7 d数据建模预报 G01 5.21 17.90 G08 1.26 16.26 G12 3.12 3.73 G22 8.19 3.36 G24 7.37 2.71 G26 3.17 14.42 2.2 模型综合对比分析
2.2.1 不同数据量建立模型对比分析
对于每颗单独的卫星，采用四种不同的神经网络模型进行了连续10次1 d的预报，并记录了每次预报的RMSE值. 对于每颗卫星，对这10个RMSE值求平均，得到了预报精度的平均值(
$ \bar{\sigma } $ ). 同时，将这10个RMSE值中的最大值和最小值分别取出，计算它们之间的极差值($ \varepsilon ={\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}) $ ，作为预报精度指标. 表5和表6展示了各模型的预报精度，而图9和图10则详细说明了每个模型对不同类型卫星原子钟的预报精度情况.表 5 1 d的钟差数据建模预报的RMSE值平均值与极差值对比ns 卫星 FA-BP Elman RBF CNN-LSTM $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ G01 4.48 6.72 11.93 23.63 0.02 0.01 5.21 5.72 G08 0.64 1.38 3.13 3.72 0.09 0.01 1.26 1.14 G12 2.18 4.27 4.72 6.82 0.12 0.03 3.12 0.29 G22 7.41 13.00 15.76 18.77 0.09 0.04 8.19 2.04 G24 0.23 0.30 1.34 2.06 0.13 0.01 7.37 1.14 G26 8.51 11.15 18.13 36.16 0.02 0.01 3.17 1.86 表 6 7 d的钟差数据建模预报的RMSE值平均值与极差值对比ns 卫星 FA-BP Elman RBF CNN-LSTM $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ G01 27.10 7.69 27.97 1.10 26.33 5.34 17.90 6.66 G08 27.70 9.91 28.15 0.70 25.78 5.34 16.26 5.63 G12 27.13 10.60 0.34 28.11 27.93 8.33 3.73 8.30 G22 28.93 4.63 28.00 0.66 17.61 19.55 3.36 5.34 G24 28.20 18.11 28.36 1.06 33.83 56.27 2.71 5.81 G26 27.15 12.59 26.60 6.03 33.03 14.34 14.42 2.86 1) 比较分析四种模型对同一颗卫星的预报精度效果，1 d的钟差数据建模预报时，FA-BP和CNN-LSTM两种模型基本上可以达到相同水平的预报精度，而Elman模型预报的效果最差. 而对于7 d的钟差数据建模预报，FA-BP、Elman和RBF三种模型基本可以达到相同量级的预报精度，CNN-LSTM模型的预报精度最好.
2) 从四种模型在不同类型卫星钟的预报效果来看，对于1 d的钟差数据建模预报时，RBF神经网络模型基本上适用于任何类型卫星钟的钟差预报；FA-BP和Elman这两种模型更适用于Block IIA Cs和Block IIF Cs类型的卫星钟钟差预报，预报精度均在4 ns以内；而CNN-LSTM模型最适用于Block IIF Cs类型的卫星钟差预报. 针对7 d的钟差数据建模预报时，CNN-LSTM模型更适用于Block IIR-M Rb、Block IIR Rb和Block IIF Cs类型的卫星钟差预报，预报精度均在4 ns以内，Elman模型最适用于Block IIR-M Rb类型的卫星钟预报，其精度达到其余模型的精度均较差，达到了亚纳秒量级，其余模型的预报精度都较差，预报精度均在14 ns以上.
3) 在进行1 d钟差数据的建模预报时，Elman模型的RMSE极差值基本处于最高状态，最高值可高达36 ns以上. 由此表明，在钟差序列出现异常变化的情况下，该神经网络模型的预报效果不够稳定. 在进行7 d的钟差数据建模预报时，RBF神经网络模型RMSE的极差值对于Block IIF Cs类型卫星钟的预报达到56 ns以上，其稳定度较差；而CNN-LSTM模型与其他三种模型对比，在钟差预报中都可以得到较稳定且高精度的结果.
2.2.2 卫星批次及原子钟类型对比分析
考虑当前在轨运行的GPS星载原子钟主要有铷原子钟(Rb)和铯原子钟(Cs)两种类型；而不同批次卫星的同一类型原子钟，性能不一样；不同批次卫星的不同类型原子钟，性能有可能一样.
因此，本文选取了2011年和2014年发射的5颗铷原子钟类型卫星，2012年和2015年发射的2颗铯原子钟类型卫星分别进行比较试验. 对于每颗卫星，采用四种神经网络模型进行连续10次1 d的钟差预报，并对这10个RMSE值进行平均，得到了
$ \bar{\sigma } $ 值. 图11展示了试验所选取的卫星在轨运行时间，表7~9展示了各模型对比试验的预报精度.表 7 同批次的铷原子钟类型卫星各模型精度$ \bar{\sigma } $ 对比ns 卫星 FA-BP Elman RBF CNN-LSTM G30 1.58 5.08 0.22 6.16 G06 4.31 14.28 0.23 11.67 G09 3.72 11.24 0.23 7.25 G03 3.14 12.47 0.21 9.37 表 8 不同批次的铷原子钟类型卫星各模型精度$ \bar{\sigma } $ 对比ns 卫星 FA-BP Elman RBF CNN-LSTM G01 4.48 11.93 0.02 5.21 G30 1.58 5.08 0.22 6.16 表 9 不同批次的铯原子钟类型卫星各模型精度$ \bar{\sigma } $ 对比ns 卫星 FA-BP Elman RBF CNN-LSTM G08 0.64 3.13 0.09 1.26 G24 0.23 1.34 0.13 7.37 1)由同批次的铷原子钟类型卫星以及不同批次的铷原子钟类型卫星各模型预报精度结果可知，RBF神经网络模型对于不同批次的铷原子钟类型卫星的钟差预报精度都较稳定，其平均误差达到1 ns以内. 同批次的铷原子钟类型卫星预报中，FA-BP模型和RBF神经网络模型预报精度较平稳，整体精度在5 ns以内；Elman模型和CNN-LSTM模型预报精度变化趋势较大，整体精度较高. 不同批次的铷原子钟类型卫星预报中，Elman模型预报效果最差，FA-BP模型对于在轨运行时间短的卫星相对精度较高，另两个模型整体精度变化不大.
2)从不同批次的铯原子钟类型卫星各模型预报精度效果来看，RBF神经网络模型和FA-BP模型不受卫星在轨运行时间的影响，整体精度分别达到0.1 ns左右和1 ns以内；Elman模型随着卫星在轨时间增加，对铯原子钟类型的卫星预报精度变差；CNN-LSTM模型随着卫星在轨时间增加，对铯原子钟类型的卫星预报精度变高.
3. 结 论
本文主要从GPS星载原子钟钟差预报模型的建模量特点、不同批次卫星的同类型原子钟和同批次卫星的同类型原子钟的方面，对四种神经网络模型(FA-BP模型、Elman模型、RBF神经网络模型、CNN-LSTM模型)的预报效果进行了比较分析，得出以下结论：
1)对于四种神经网络模型，在建模量特点中，连续10次短期预报中1 d的钟差数据建模的预报精度均高于7 d的钟差数据建模的预报精度，且对6颗卫星G01 (Block IIF Rb)、G08 (Block IIA Cs)、G12 (Block IIR-M Rb)、G22 (Block IIR Rb)、G24 (Block IIF Cs)、G26 (Block IIA Rb)的预报精度变化比较平稳. 因此，钟差数据建模数量对钟差预报的精度产生重大影响.
2)对于不同批次卫星的同一类型原子钟以及同批次卫星的同类型原子钟的预报结果对比分析，四种神经网络预报模型中，RBF神经网络模型适用于每一情况下的卫星钟差预报，精度整体在1 ns以内；其他三种模型预报精度对于卫星在轨运行时间的改变以及原子钟类型的变化易受到影响.
3) GPS卫星钟差预报的性能与卫星批次和类型 有关，在轨运行时间长的卫星其预报的性能不一定差，不同批次卫星的不同类型原子钟的预报效果的性能可能一样，同一颗卫星使用不同钟差预报模型时其预报结果变化较大.
致谢：感谢我的指导老师胡超副教授和我的导师郑礼全副教授在整个研究过程中给予我的悉心指导和宝贵建议. 您们的专业知识和经验对我的研究起到了致关重要的作用.
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表 1 FA-BP模型预报的RMSE值平均值统计
ns 卫星 1 d数据建模预报 7 d数据建模预报 G01 4.50 27.10 G08 0.64 27.70 G12 2.18 27.13 G22 7.41 28.93 G24 0.23 28.20 G26 8.51 27.15 
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表 2 Elman模型预报的RMSE值平均值统计
ns 卫星 1 d数据建模预报 7 d数据建模预报 G01 11.93 27.97 G08 3.13 28.15 G12 4.72 28.11 G22 15.76 28.00 G24 1.34 28.36 G26 18.13 26.57
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表 3 RBF神经网络模型预报的RMSE值平均值统计
ns 卫星 1 d数据建模预报 7 d数据建模预报 G01 0.02 26.33 G08 0.07 25.78 G12 0.12 27.93 G22 0.09 17.61 G24 0.13 33.83 G26 0.02 33.03
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表 4 CNN-LSTM模型预报的RMSE值平均值统计
ns 卫星 1 d数据建模预报 7 d数据建模预报 G01 5.21 17.90 G08 1.26 16.26 G12 3.12 3.73 G22 8.19 3.36 G24 7.37 2.71 G26 3.17 14.42
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表 5 1 d的钟差数据建模预报的RMSE值平均值与极差值对比
ns 卫星 FA-BP Elman RBF CNN-LSTM $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ G01 4.48 6.72 11.93 23.63 0.02 0.01 5.21 5.72 G08 0.64 1.38 3.13 3.72 0.09 0.01 1.26 1.14 G12 2.18 4.27 4.72 6.82 0.12 0.03 3.12 0.29 G22 7.41 13.00 15.76 18.77 0.09 0.04 8.19 2.04 G24 0.23 0.30 1.34 2.06 0.13 0.01 7.37 1.14 G26 8.51 11.15 18.13 36.16 0.02 0.01 3.17 1.86
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表 6 7 d的钟差数据建模预报的RMSE值平均值与极差值对比
ns 卫星 FA-BP Elman RBF CNN-LSTM $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ $ \bar{\sigma } $ $ \varepsilon $ G01 27.10 7.69 27.97 1.10 26.33 5.34 17.90 6.66 G08 27.70 9.91 28.15 0.70 25.78 5.34 16.26 5.63 G12 27.13 10.60 0.34 28.11 27.93 8.33 3.73 8.30 G22 28.93 4.63 28.00 0.66 17.61 19.55 3.36 5.34 G24 28.20 18.11 28.36 1.06 33.83 56.27 2.71 5.81 G26 27.15 12.59 26.60 6.03 33.03 14.34 14.42 2.86
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表 7 同批次的铷原子钟类型卫星各模型精度
$ \bar{\sigma } $ 对比ns 卫星 FA-BP Elman RBF CNN-LSTM G30 1.58 5.08 0.22 6.16 G06 4.31 14.28 0.23 11.67 G09 3.72 11.24 0.23 7.25 G03 3.14 12.47 0.21 9.37
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表 8 不同批次的铷原子钟类型卫星各模型精度
$ \bar{\sigma } $ 对比ns 卫星 FA-BP Elman RBF CNN-LSTM G01 4.48 11.93 0.02 5.21 G30 1.58 5.08 0.22 6.16
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表 9 不同批次的铯原子钟类型卫星各模型精度
$ \bar{\sigma } $ 对比ns 卫星 FA-BP Elman RBF CNN-LSTM G08 0.64 3.13 0.09 1.26 G24 0.23 1.34 0.13 7.37
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