Analysis of the influence of time-domain anti-interference on correlation peaks under channel characteristics
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摘要: 天线、射频前端等模拟器件的非理想通道特性会导致全球卫星导航系统(GNSS)接收机内产生测距偏差，现阶段由传统的抗干扰算法导致的测距偏差已成为高精度测距接收机实现其精度提升的主要障碍. 通过理论推导证明在通道特性理想时，由于抗干扰滤波器系数在迭代下的时变特性以及干扰自相关值的不确定性，仍然会导致相关函数的非对称性；在实际通道特性下，基于单天线的传统时域抗干扰算法会导致原本不对称的相关峰畸变程度进一步恶化，并证明了在实际通道特性下，原本不对称的相关峰畸变程度恶化，是由于传统的抗干扰算法在迭代的过程中产生的不同时刻相关函数的叠加效应导致的.Abstract: Due to the non-ideal characteristics of analog components such as antennas and RF front-ends, ranging errors will occur in the Global Navigation Satellite System (GNSS) receiver. At present, the deviation of the ranging value caused by the traditional anti-jamming algorithm has become the main obstacle to the improvement of the accuracy of high-precision ranging receiver. In this paper, theoretical derivation proves that when the channel characteristics are ideal, the correlation function will still be asymmetric due to the time-varying characteristics of the anti-jamming filter coefficients under iteration and the uncertainty of the interference auto correlation value. When the channel characteristics are not ideal, the traditional time-domain anti-jamming algorithm based on a single antenna will further deteriorate the originally asymmetrical correlation peak distortion. It is proved that under the non-ideal channel characteristics, the asymmetric correlation peak distortion caused by the time-domain anti-interference filter is further deteriorated due to the superposition effect of the correlation functions of each delay.
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0. 引 言
全球卫星导航系统（GNSS）面临的电磁环境变得越来越复杂，多样的空间电磁环境和人为电磁干扰，是GNSS接收机面临的主要干扰来源[1-2]. 对GNSS接收机影响最大且最常见的干扰类型是窄带干扰，而常见的抗干扰技术可分为基于单天线的时频域抗干扰技术、基于天线阵的空域抗干扰技术以及空时、空频相结合的抗干扰技术[3]. 同时，由于不存在阵列天线因幅相特性不匹配导致的伪距偏差较大问题[4-5]，单天线抗干扰技术在一些有高精度测距需求的应用场景下，例如在我国北斗卫星导航系统（BDS）空间段的多个链路接收终端、地面系统的卫星无线电定位系统(RDSS)信号收发分系统、主控站的测量通信分系统、监测接收机以及伪距差分等相关应用中，发挥了其独特优势.
相比于通信系统，导航系统更加侧重于测距性能，因此在卫星导航系统中，进行抗干扰的同时，还要解决抗干扰条件下导致的测距偏差问题. 已有文献[6]证明，在通道特性理想的情况下，通过约束抗干扰滤波器的线性相位，无论在相干积分还是非相干积分下均不会破坏相关函数的对称性，因此抗干扰滤波器不会对伪距测量结果产生偏差.
但是在实际的接收机通道中，通道特性主要反映在幅度的非平坦性和相位的非线性上. 现有的抗干扰滤波器在实际通道特性下会导致原本不对称的相关峰畸变程度加剧，且畸变程度与抗干扰滤波器系数相关. 因此，为了实现高精度测距，研究人员在实际通道特性下提出了通过在通道后面增加校准滤波器[7]以及采用小环路自校技术实现测距接收机的高精度测距. 其中前者在模拟域的校正技术存在精度较差、均衡适用性不广的缺点；在数字域的校准技术存在运算复杂度高，且精度不好控制的缺点[8]. 后者由于发射通道特性和接收通道特性的耦合作用可能导致时延校正值出现偏差[9]，并且会增加一个专门用于校准的发射通道和一个专门用于校准的接收通道，大大增加了硬件的复杂度. 另外为消除测距偏差，范广腾等[8]设计了补偿滤波器，该滤波器与传统的抗干扰滤波器幅频响应互补，但是该方法只适用于对称的通道特性.
在上述的研究中，尽管学者们提出了各种方法来修正和改善通道特性下由抗干扰模块导致的测距偏差，但是缺乏对时域抗干扰引起信号畸变根本原因的统一认识. 针对上述问题，本文从理论上分析了实际通道特性下时域抗干扰滤波器对导航信号伪距高精度测量的影响. 由于在实际通道特性下破坏了相关峰的对称性，考虑相关峰由于导航信号经过时域抗干扰滤波器时，在最小均方误差(LMS)算法迭代的过程中产生了信号叠加效应，从而加剧了相关峰的畸变，导致测距出现严重的偏差.
本文在以下几个方面对文章进行阐述：首先，建立非理想通道模型以及信号模型；其次，介绍传统的时域自适应滤波算法，通过理论推导证明在通道特性理想时，由于抗干扰滤波器系数在迭代下的时变特性以及干扰自相关值的不确定性，仍然会导致相关函数的非对称性；再次，详细地分析了当通道特性非理想时，时域抗干扰滤波器将会加剧相关峰的畸变，导致测距偏差值更大；最后，得出结论.
1. 数学模型
单天线接收机的基本组成如图1所示，接收机信号通道的相位和幅度特性主要决定于天线和射频前端，而通道的非理想特性主要反映在幅度的非平坦性和相位的非线性上. 本节给出非理想通道模型以及信号模型这两种数学模型，为后文的仿真实验搭建合理的仿真平台.
图2为数学模型结构，
${S_{{\rm{RF}}}}(t)$ 为射频接收信号，经过A/D采样和数字下变频后得到中频接收信号${S_{{\rm{IF}}}}(t)$ ，再经过抗干扰模块后得到干扰抑制后的输出信号${S_{{\rm{AJM}}}}(t)$ ，${S_{{\rm{AJM}}}}(t)$ 与本地伪码信号相关，得到相关函数$R(\tau )$ ，最后将得到的相关累加值送给鉴别器.1.1 非理想通道特性模型
由于天线、射频通道都是模拟器件，可以将幅相特性等效为一个非线性相位的低通滤波器. 假设通道的传递函数是
$ H(\omega ) $ ，常规的通道非理想特性模型为[10]$$ H{\text{(}}\omega {\text{) = }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A(\omega ){{\rm{e}}^{j\varphi (\omega )}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left| \omega \right|\,\,{\kern 1pt} \leqslant \,\,\text{π} B{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \\ {{\text{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{else}\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.. $$ (1) 式中：B为接收机的带宽；
$ A(\omega ) $ 、$ \varphi (\omega ) $ 分别为振幅频率和相位频率的响应. 在理想情下，$ A(\omega ) $ 和$ \varphi (\omega ) $ 满足以下关系：$$ {{A}}(\omega ) \equiv 1, $$ (2) $$ \varphi (\omega ) \equiv 0. $$ (3) 在工程应用中，天线、射频通道的幅相特性可以通过信号源与频谱仪测量得到. 图3为利用信号源与频谱仪测量的四个单天线通道的幅相特性实测图. 本文在仿真实验中的通道幅相特性将利用实际测得的数据进行仿真.
在仿真实验中，若要利用实测的通道特性数据，可根据图4所示的方法对干扰附加通道特性[11].
在图4中，
${S_{{\rm{in}}}}(t)$ 为接收的中频信号，首先将其变换到频域得到${S_{{\rm{in}}}}(f)$ ，经过一个等效的非线性相位的低通滤波器后输出为${S_{{\rm{out}}}}(f)$ ，最后经过傅里叶逆变换转换到时域输出为${S_{{\rm{out}}}}(t)$ . 其中信号经过低通滤波器$ H(f) $ 后的输出表达式为$$ {S_{{\rm{out}}}}(f) = {S_{{\rm{in}}}}(f)H(f). $$ (4) 1.2 信号模型
时域自适应抗干扰技术是利用窄带干扰的相关性强，导航信号是扩频信号属于宽带信号，相关性弱不易被估计出. 从接收信号中估计出窄带干扰，然后从接收信号中以对消的方式消除窄带干扰. 接收信号的离散表达式为
$$ {{x}}\left( n \right) = {{S}}\left( n \right) + {{I}}\left( n \right) + {{N}}\left( n \right) .$$ (5) 式中：
$n = \begin{array}{*{20}{c}} { \cdots ,}{ - 2,}{ - 1,}{0,}{1,}{2,} \cdots \end{array}$ ；${{S}}\left( n \right)$ 、${{I}}\left( n \right)$ 和${{N}}\left( n \right)$ 分别表示导航信号、干扰信号和噪声.由文献[9]可知，信号经过非理想信道后的相关函数为
$$R(\tau )\, = \,\int\limits_{ - b}^b {{\rm{sin}}\;{{{c}}^2}(f)\,\, \cdot \,A(f)\,\, \cdot \,\,\exp \{ j{\rm{2 }}\text{π} f[\tau \, - \,{\tau _g}(f)]\} } \,{\rm{d}}f .$$ (6) 式中，
${\tau _{\text{g}}}{\text{(}}f{\text{)}}$ 为等效的低通滤波器的群时延. 从式（6）可以看出，当导航信号经过实际通道特性且不能保证理想的恒幅度和线性相位滤波器时，其相关峰将不再对称，发生畸变从而影响测距性能.图5为导航信号分别通过理想通道下的相关函数. 由图5可知，图中虽然可以直观的区别出两者相关函数存在一定差异，但仍无法进一步衡量差异带来的影响. 因此在卫星导航信号信道指标体系中，我们通常会用S曲线偏差 (SCB)这一重要指标来衡量相关峰的对称性，定量的分析接收机的测距偏差，SCB的定义[12]为
$$ {\tau _{{\rm{SCB}}}}{\text{ = }}{\tau _{\text{0}}}{{ - }}\frac{{\left| {{\tau _{\text{1}}}{{ - }}{\tau _{\text{2}}}} \right|}}{{\text{2}}}. $$ (7) 式中，
$ {\tau }_{\text{0}}\text{、}{\tau }_{\text{1}}\text{、}{\tau }_{\text{2}} $ 满足如下约束：$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\tau _{\text{0}}}{\text{ = arg }}\; {\rm{max}}\;R(\tau )} \\ {R({\tau _1})\;{\text{ = }}\;R({\tau _{\text{2}}})\;} \\ {\left| {{\tau _1}\; - \;{\tau _{\text{2}}}} \right|\; = \;\varDelta } \end{array}} \right.. $$ (8) 式中：
$ R(\tau ) $ 为接收信号与本地信号的相关函数；$\varDelta $ 为相关器的间隔.如图6所示，利用图4中的通道特性进行仿真，和理想通道下的测距值相比，其最大测距偏差超过0.5 ns，再一次证实导航信号经过非理想通道后造成了测距的偏差.
2. 时域抗干扰算法
2.1 时域自适应算法原理
基于单天线的抗干扰技术中，时域抗干扰技术和频域抗干扰技术在工程应用中最为广泛，自适应滤波的基础理论成熟是基于线性估计的时域抗干扰技术的优点. 在现场可编程逻辑门阵列（FPGA）等硬件的开发实现中占用资源较少并且可方便实现模块化[13]；可对单频干扰、多音干扰、脉冲干扰、高斯窄带干扰以及扫频干扰等传统窄带干扰进行有效抑制；还可与空域干扰抑制技术有效结合，组成空时联合抗干扰，进一步提高抗干扰能力[14]. 其相应的自适应滤波器结构如图7所示.
自适应滤波抗干扰算法的基本算法包括LMS算法、递归最小二乘（RLS）算法等. 文中结合实际工程应用，分析选取了经典的LMS算法.
LMS算法，在给定初始权值的基础上，对均方误差值求梯度并沿着梯度反方向进行权值的递归运算，算法收敛以后得到最佳权值[15]. 其中LMS算法的迭代公式如下：
$$ {\boldsymbol{w}}(n + 1) = {\boldsymbol{w}}(n) + \mu {\kern 1pt} {\boldsymbol{x}}(n){{{e}}}(n) . $$ (9) 式中，μ为收敛因子，该因子可以控制算法收敛速度，其取值必须满足
$$ 0 < \mu < 2/{\lambda _{\max }}. $$ (10) 满足式（10）才能保证算法收敛，式中
${\lambda _{\max }}$ 为导航信号与本地伪码相关矩阵的最大特征值.2.2 滤波器结构选取
本文中所采用的滤波器结构是常用的奇数阶双边抽头横向滤波器，即内插结构的滤波器，如图8所示. 它同时利用了过去的数据及将来的数据，根据数据集
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( 0 \right)},{\begin{array}{*{20}{c}} \cdots, {x\left( {i - 1} \right)},{x\left( {i + 1} \right)}, \end{array}} \cdots, {x\left( {N - 1} \right)} \end{array}} \right\}$ 来估计${{x}}(i)$ .其中滤波器阶数为（2M+1）. 另外为了防止滤波器系数收敛到0方便计算，将滤波器中间权值固定为1，会影响滤波器的增益，但不会影响其性能. 本文后续研究中均以奇数阶双边抽头横向滤波器为例进行分析，对于偶数阶单边抽头滤波器，将本地伪码信号经过适当的时延，可得到类似的结论.
3. 通道理想下抗干扰模块对相关函数的影响分析
当通道特性理想时，通过约束抗干扰滤波器的线性相位，无论在相干积分还是非相干积分下均不会破坏相关函数的对称性. 但是由于抗干扰滤波器系数在迭代下的时变特性以及干扰自相关值的不确定性，仍然会导致相关函数的非对称性，本节将给出具体的理论推导过程.
根据LMS算法，权值迭代过程为
$$ {\boldsymbol{w}}(k) = {\boldsymbol{w}}(k - 1) + \mu {\boldsymbol{x}}(k - 1){y^{\text{H}}}(k - 1). $$ (11) 抗干扰后的输出可表示为
$$y(k) = {{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}(k){\boldsymbol{x}}(k).$$ (12) 将式(11)代入式(12)可得
$$ \begin{split} y(k) =& {\left( {{\boldsymbol{w}}(k - 1) + \mu {\boldsymbol{x}}(k - 1){y^{\text{H}}}(k - 1)} \right)^{\text{H}}}{\boldsymbol{x}}(k) \\ =& {{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}(k - 1){\boldsymbol{x}}(k) + {\left( {\mu {\boldsymbol{x}}(k - 1){y^{\text{H}}}(k - 1)} \right)^{\text{H}}}{\boldsymbol{x}}(k) \\ =& {{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}(k - 1){\boldsymbol{x}}(k) + \mu y(k - 1){{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}(k - 1){\boldsymbol{x}}(k) \\ =& {{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}(k - 1){\boldsymbol{x}}(k) + \\ & \mu {{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}(k - 1){\boldsymbol{x}}(k - 1){{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}(k - 1){\boldsymbol{x}}(k) .\\ \\[-16pt]\end{split} $$ (13) 根据式（13）的处理过程，将式中的权值继续迭代，进一步化简得
$$y(k) = {{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}(0){\boldsymbol{x}}(k) +\displaystyle\sum\limits_{m = - M\hfill\atop k \ne m\hfill}^M {\mu {{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}(k - m){\boldsymbol{x}}(k - m){{\boldsymbol{x}}^{\rm{H}}}(k - m){\boldsymbol{x}}(k)}. $$ (14) 将抗干扰后输出的数据与本地信号做相关可得相关函数，表示为
$$ \begin{split} R(\tau ) =& \sum\limits_{k = 1}^\infty {y(k){s^{\rm{H}}}(k - \tau )} \\ =& \sum\limits_{k = - \infty }^\infty \Bigg( {{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}(0){\boldsymbol{x}}(k) +\\& \displaystyle\sum\limits_{m = - M\hfill\atop \scriptstyle\;k \ne m\hfill}^M {\mu {{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}(k - m){\boldsymbol{x}}(k - m){{\boldsymbol{x}}^{\rm{H}}}(k - m){\boldsymbol{x}}(k)} \Bigg){s^{\rm{H}}}(k - \tau ) \\ =& \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}(0){\boldsymbol{x}}(k){s^{\rm{H}}}(k - \tau )} +\\ & \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\left( {\sum\limits_{m = - M\hfill\atop \scriptstyle\;k \ne m\hfill}^M {\mu {{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}(k - m){\boldsymbol{x}}(k - m){{\boldsymbol{x}}^{\rm{H}}}(k - m){\boldsymbol{x}}(k)} } \right){s^{\rm{H}}}(k - \tau )} . \end{split}$$ (15) 为了描述方面，定义下式为
$$ \begin{split} {\gamma _m}(k) =& {{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}(k - m){\boldsymbol{x}}(k) \\ =& {\left( {{\boldsymbol{s}}_i(k - m) + {\boldsymbol{j}}_i(k - m) + {\boldsymbol{n}}_i(k - m)} \right)^{\text{H}}}\left( {{\boldsymbol{s}}_i(k) + {\boldsymbol{j}}_i(k) + {\boldsymbol{n}}_i(k)} \right). \end{split} $$ (16) 式中，
${\boldsymbol{s}}_i(k)$ 、${\boldsymbol{j}}_i(k)$ 、${\boldsymbol{n}}_i(k)$ 分别为信号、干扰以及噪声矢量且互不相关，则对式(16)进一步化简可得$$ \begin{split} {\gamma _m}(k) =& {{\boldsymbol{s}}_i^{\text{H}}}(k - m){\boldsymbol{s}}_i(k) + {{\boldsymbol{j}}_i^{\text{H}}}(k - m){\boldsymbol{j}}_i(k) + {{\boldsymbol{n}}_i^{\text{H}}}(k - m){\boldsymbol{n}}_i(k) \\ \approx& {{\boldsymbol{s}}_i^{\text{H}}}(k - m){\boldsymbol{s}}_i(k) + {{\boldsymbol{j}}_i^{\text{H}}}(k - m){\boldsymbol{j}}_i(k). \\[-12pt]\end{split} $$ (17) 根据式(15)、式(17)，相关函数可进一步表示为
$$ \begin{split} R(\tau ) =& \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}(0){\boldsymbol{x}}(k){s^{\rm{H}}}(k - \tau )}+ \\ & \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\left( {\sum\limits_{m = - M\hfill\atop \scriptstyle\;k \ne m\hfill}^M {\mu {{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}(k - m){\boldsymbol{x}}(k - m){\gamma _m}(k)} } \right){s^{\rm{H}}}(k - \tau )} \\ =& \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}(0){\boldsymbol{x}}(k){s^{\rm{H}}}(k - \tau )} +\\ & \mu \sum\limits_{m = - M\hfill\atop \scriptstyle\;k \ne m\hfill}^M {{\gamma _m}(k)\left( {\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}(k - m){\boldsymbol{x}}(k - m)} } \right){s^{\rm{H}}}(k - \tau )} \\ =& {R_d}(\tau ) + \mu \sum\limits_{m = - M}^M {{\gamma _m}{R_d}(\tau - m)} . \\[-14pt]\end{split} $$ (18) 由于初始权值满足线性相位条件，因此相关函数
$ {R_d}(\tau ) $ 依然满足对称性. 由于权值迭代下的时变特性导致了$\mu \displaystyle\sum\limits_{m = - M}^M {{\gamma _m}{R_d}(\tau - m)}$ 的存在，在$ {\gamma _m} $ 中，由于干扰相关值的不确定性，最终导致相关函数$ R(\tau ) $ 的畸变. 同时由式(18)可直接得出，$ \mu $ 越大，相关函数中$\mu \displaystyle\sum\limits_{m = 1}^\infty {{\gamma _m}{R_d}(\tau - m)}$ 值也越大，即导致相关函数的畸变越大，故产生的偏差越大. 另外，干扰功率越大，由于抗干扰权值的改变，将引起残余干扰越大，式(18)中的$ {R_d}(\tau - m) $ 越大，导致相关函数的畸变越大，故产生的偏差越大.4. 通道非理想下抗干扰模块对相关峰的影响
由于接收机通道的非理想特性会另接收信号的相关峰产生畸变，从而输入至自适应抗干扰滤波器的信号其相关峰不再满足对称性要求. 在第二节中我们已经给出了理论及仿真验证. 进一步，在实际通道特性下，相关峰由于导航信号经过时域抗干扰滤波器时，在LMS算法迭代的过程中产生相关函数的叠加效应，从而加剧了相关峰的畸变，导致测距产生严重的偏差. 下面从理论上进行具体分析.
根据如图8所示的自适应滤波器的结构以及第2节提及的LMS算法实现. 滤波器的输入为
$$ {\boldsymbol{x}} = \{ x(n - M), \cdots, x(n - 1),{{x}}(n),{{x}}(n + 1), \cdots, x(n + M)\}. $$ (19) 其中时域抗干扰滤波器系数为
$$ {\boldsymbol{w}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_{ - M}}},{{w_{ - M + 1}}},{ \cdots },{\begin{array}{*{20}{c}} {w_{ - 1}},{w_0},{{w_1}},{{{\begin{array}{*{20}{c}} { \cdots },w_M \end{array}}}} \end{array}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}. $$ (20) 由文献[16]可知，通常在使用自适应滤波的方式时，当滤波器系数满足共轭对称特性时，不仅可以保持接收机的跟踪特性，还可以较好地满足信噪比损耗最小的要求. 因此在研究抗干扰滤波器对测距偏差的影响时，通常将抗干扰滤波器的系数保持共轭对称，即
$$ {w_k} = w_{ - k}^ * \,,\,\,k = 1,2 \cdots M. $$ (21) 从而当前时刻的离散输出
$y(n)$ 可表示为$$ y(n) = {{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{x }}{\text{ = }}\sum\limits_{i = - M}^M {{w_i}x(n + i)}. $$ (22) 将经过抗干扰模块后输出的信号与本地伪码信号
$ s(n) $ 做相关处理可得相关函数$ R(\tau ) $ 的离散形式表示为$$ R(\tau )\;\, = \;\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {y(n){s^*}(n - \tau )} . $$ (23) 将（22）式带入到（23）式中：
$$ \begin{split} R(\tau ) =& \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\left[\sum\limits_{k = - M}^M {{w_k}x(n + k)} \right]{s^*}(n - \tau )} \\ =&w_{ - M}^{}\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n - M){s^*}(n - \tau )} + \cdots + \\ & w_{{{ - }}1}^{}\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n - 1){s^*}(n - \tau )} + \\ & w_0^{}\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n){s^*}(n - \tau )} + \\ & w_1^{}\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n + 1){s^*}(n - \tau )} + \cdots + \\ & w_M^{}\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n + M){s^*}(n - \tau )}. \end{split} $$ (24) 上式的相关函数可进一步化简为
$$ \begin{split} R(\tau ) =& \sum\limits_{k = - M}^M {w_k^{}{R_{xs}}(\tau + k \cdot {\tau _0})} \\ =& w_{ - M}^{}{R_{xs}}(\tau - M \cdot {\tau _0}) + \cdot \cdot \cdot + \\ &w_{ - 1}^{}{R_{xs}}(\tau - \;{\tau _0}) + w_0^{}{R_{xs}}(\tau ) + \\ &w_1^{}{R_{xs}}(\tau + \;{\tau _0}) + \cdot \cdot \cdot + w_M^{}{R_{xs}}(\tau + M \cdot {\tau _0}) \end{split} $$ (25) 其中：
$ {\tau _0} $ 为采样间隔；$ {R_{xs}} $ 为不同时刻的未经过抗干扰滤波器的输入信号与本地信号的相关函数. 由于干扰信号、噪声信号与导航信号的不相关性，$ {R_{xs}} $ 即为不同时刻的导航信号与本地伪码的相关函数.由式(24)和式(25)的理论证明可知，在滤波器系数
$ {w_k} $ 保持共轭对称且相关函数主分量$ {R_{xs}}(\tau ) $ 保持相关峰对称时，经过抗干扰滤波器后的相关峰将依然保持对称. 然而信号在经过抗干扰模块前，由于通道特性的存在破坏了相关峰的对称性，在抗干扰滤波器的系数迭代过程中，会产生M个不对称的超前和延迟的相关函数，该过程如图9所示. 经过抗干扰滤波器后的相关峰由于不同时刻相关函数的叠加效应导致原本不对称的相关峰畸变程度加剧，且畸变程度与抗干扰滤波器系数$ {w_k} $ 相关.如图10所示，当抗干扰滤波器系数收敛时，
$ {w_k} $ 以中间系数为基准向两边逐渐递减趋近于0，所以对应时刻的相关函数幅度也会相应降低. 一般情况下，提前和延迟${\tau _0}$ 个码相位后的相关函数对主相关峰的影响最大. 由图10相关函数的叠加结果可知，在不同时刻的叠加，非理想通道特性下经过抗干扰模块后的相关峰会产生更严重的畸变，对测距值的偏差和载噪比产生影响.相关函数主分量与各个相关函数的延迟分量的叠加结果如图11所示. 利用实验中LMS算法29阶滤波器系数收敛的真实值进行仿真，得出叠加后的相关峰.
在图12的仿真中，抗干扰滤波器均采用双边抽头横向滤波器. 干扰类型为单频干扰和不同带宽的窄带干扰，其中窄带干扰的带宽定义为信号带宽的20%以内. 与经过通道特性后的接收信号的测距值相比，传统的LMS算法在不同的窄带干扰下的测距偏差随着干扰带宽的增大而增大，在2 MHz窄带干扰下约达到1.5 ns.
5. 结束语
本文推导出在通道特性理想时，通过约束抗干扰滤波器的线性相位，无论在相干积分还是非相干积分下均不会破坏相关函数的对称性. 但是由于抗干扰滤波器系数在迭代下的时变特性以及干扰自相关值的不确定性，仍然会导致相关函数的非对称性. 同时在实际通道特性的情况下，推导出在传统的LMS时域抗干扰算法下，由于抗干扰自适应滤波器的系数在迭代过程中，会产生不同的相关函数延迟分量. 经过抗干扰滤波器后的相关峰由于不同时刻相关函数的叠加效应导致原本不对称的相关峰畸变程度加剧，因此带来测距偏差. 对于该偏差，可以考虑在抗干扰滤波器后加一个与之匹配的滤波器达到消除延迟为相关峰的目的，或者对延迟相关函数进行统计估计，构造相应的相关函数进行对消. 在导航信号监测接收机、卫星有效载荷接收机以及舰载机的精密进近着陆系统等对定位精度有较高需求的环境下，该机理分析为进一步实现干扰条件下的稳健测距提供理论支撑.
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